概率论第三章习题解答.doc

第三章习题解
1　在一箱子中装有12只开关，其中2　只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量，如下：

试分别就（1），（2）两种情况写出，的联合分布律。
解　（1）放回抽样
　　　 由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为　　　，
第一次取出的是次品的概率为　　
同理，第二次取到正品的概率
　　　第二次取到次品的概率为
由乘法公式得，的联合分布率为
，，。
具体地有
，，
　　，
用表格的形式表示为

0　　　　　1

　0

　1

（2）不放回抽样
　　，
因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。所以

　　，　　
　　，　　
则　，
　　，
用表格表示为

0　　　　　1

　0

　1

2　（1）盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律。
　（2）在（1）中求，，，。
解　X可能的取值为0，1，2，3；Y的可能取值为0，1，2。
　　（因为盒子里总共只有7只球，每次取4只球，而红球2只，故不可能白球和黑球同时都取不到）
　，　　
　　　　。
。　　
，　 ，
，　　 ，

其联合分布律为

0　　　　1　　　　2　　　　3
　　0

1

2
0　　　　　0　　　　　　
0　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　0
（2）

　　；

　　　　　　　　。

　　　　　　。
3　设随机变量的概率密度为

（1）确定常数；
（2）求；
（3）求；
（4）。
解　由得

令，　　得。
（2）

（积分区域为，）

　　　　　　。
4 设，是非负的连续型随机变量，它们相互独立。
（1）证明　，其中是的分布函数，是的概率密度。
（2）设，相互独立，其概率密度分别为
　　　　　，　　
求。
解　（1）因为，是非负的连续型随机变量，且相互独立，所以，在区域内

　　　　　　　　　　（分部积分）

（2）　　　

5　设随机变量具有分布函数
　　　　，
求边缘分布函数。
解　当时

其它情形　，即
。
同理　当时

其它情形　，即
　　。
6　将一枚硬币掷三次，以X表示前两次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数，求X，Y的联合分布律以及的概率密度。
解　将一枚硬币掷三次，其H和T出现的情况为
｛HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT｝
X的取值为0,1，2，Y的取值为0，1,2，3则
（TTT），　　　　（TTH）

，　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　（HTT，THT）
　（HHT，THH）　

　　（HHT）　　　　　　　（HHH）　

0　　　　1　　　　2

　　0

　　1　　

2

3
　　　　0　　　0
　　　　　　0
0　　　　　　
0　　　　0　　　

7　设二维随机变量的概率密度为

　求边缘概率密度。
解　当　时

当　时

8　设二维随机变量的概率密度为

求边缘概率密度
解　当时，
　　　　　　于是　　
　　当时
　　　　　于是　
9设二维随机变量的概率密度为

（1）确定常数；
（2）求边缘概率密度
解　（1）　因为　

令　，得。即
（2）　　当时

于是　　
当时

于是　　
　　10　某一医药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y。据以往积累的资料知X，Y的联合分布律为

51　　52　　53　　54　　55
51
52
53
54
55
0.66　0.05　0.05　0.01　0.01
0.07　0.05　0.01　0.01　0.01
0.05　0.10　0.10　0.05　0.05
0.05　0.02　0.01　0.01　0.03
0.05　0.06　0.05　0.01　0.03
（1）求边缘分布律；
（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件概率。
解（1）边缘概率　

51　　52　　53　　54　　55

51
52
53
54
55
0.06　0.05　0.05　0.01　0.01
0.07　0.05　0.01　0.01　0.01
0.05　0.10　0.10　0.05　0.05
0.05　0.02　0.01　0.01　0.03
0.05　0.06　0.05　0.01　0.03
0.18
0.15
0.35
0.12
0.20

0.28　0.28　0.22　0.09　0.13

（2）由条件概率计算公式，得

51　　　52　　　53　　　54　　　55

11　以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数。设X和Y的联合分布律为
　　　　　，
（1）求边缘分布律；
（2）求条件分布律；
（3）写出时的条件分布律。
解　因为Y记录的是男婴的个数，他是当天出生全体婴儿的一个子集，故

，。

　　（令）
　　　（）

　　，。
（2）求条件概率

　。

（3），。
12　求§1例1中的条件分布律。
解　§1例1设随机变量在1,2，3,4四个整数中等可能的取一值，另一个随机变量在中等可能的取一个整数值，则的分布律为

　1　　2　　3　　4
1　

2　

3

4

0　　　　　
0　　0　　　
0　　0　　0　　
其对应的边缘分布

　1　　2　　3　　4

1　

2　

3

4
0　　　　　
0　　0　　　
0　　0　　0　　

其对应的条件分布律为
由得：
，，，　，，即

1

1
同理，由得：

　　　，
　　　，
　　　，
　　，即

1　　　　2

由得：

　　，
　　，
　，即

1　　　　2　　　3

由得
　　，
　　，
　　，
　　，即

1　　　　2　　　3　　　　4

13　在第9题中
　　（1）求条件概率密度，特别，写出当时的条件概率密度；
（2）求条件概率密度，特别，写出当，时的条件概率密度。

解　因为　　　，

（1）　　
　　　　　　　。
特别地，时的条件概率密度

（2）

　　特别地，当时的条件概率密度
　　　　　　，
　　　　　　当时的条件概率密度

14　设随机变量的概率密度为

求条件概率密度。
解　（ⅰ）　当时，，

当时，于是对应的边缘概率密度为

（ⅱ）当时，

当时，对应的边缘分布概率密度　

15设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为

求（1）和的联合概率密度；
　（2）求边缘概率密度；
　（3）求

解　由乘法公式知

又因为随机变量，即
　　　　　　，所以　

（2）　。
（3）

16　（1）问第1题中的两个随机变量和是否相互独立。
　　（2）问第14题中的两个随机变量和是否相互独立。
解　　（1）第1题的两个随机变量为（放回抽样和不放回抽样）
　，
对于放回抽样来说，由于样本空间的样本没有变化，所以第一次抽取的结果并不影响第二次抽取的结果，所以两个随机变量和是相互独立的。
对于不放回抽样来说，由于样本空间的样本发生了变化，所以第一次抽取的结果对第二次抽取的结果有影响，，所以两个随机变量和不是相互独立的。
（2）因为两个边缘密度分别为
　　　当时，　
　　　当时，
而　　，
所以和不是相互独立的。
17　（1）设随机变量具有分布函数

　　　　，。
证明和相互独立。
　　　（2）设随机变量具有分布律
　　　　　　，，和均为正整数。
问和是否相互独立。
解　因为（只有时才有，此时的表达式不含）；

所以　　，即和相互独立。
(2)　因为，
　　　　，
,
所以　即和相互独立。
具体地，其联合分布律（列表）如下：

1 2 3 … n …
1

2

3

… …
… …
… …
… … … … … …

n

… …
… … … … … …

　　　　；

一般地　

1　　2　　　　　3　　　　

1　　2　　　　　3　　　　

由此可知和是相互独立的。
18 设和是两个相互独立的，在区间上服从均匀分布，的概率密度为

　　　　　　　　，
（1）求和的联合概率密度；
（2）设有有二次方程，试求有实根的概率。
解　（1）因为在区间上服从均匀分布，所以

又和是两个相互独立的，故其联合分布概率密度为

（2）方程有䙅的充分必要条件是，即

　　　　　　　　。

19　进行打靶，设弹着点的坐标和相互独立，且都服从分布，
规定：点落在区域得2分；
点落在区域得1分
点落在区域得0分；
以记打靶的得分，写出，的联合概率密度，并求的分布律。
解　（1）因为和相互独立，且都服从分布，所以，的联合概率密

　　　（2）以记打靶的得分，求的分布律
　　　　因为的取值为0，1，2

用极坐标计算：令，则，，
，，代入上式，得

　　　　　　　　；

　即

0 1 2

20　设和相互独立的随机变量，其概率密度分别为
　　　　，
其中，是常数，引入随机变量　

　（1）求条件概率密度；
　（2）求的分布律和分布函数。
解　（1）和相互独立的随机变量，所以

（2）和相互独立的随机变量因为，所以其联合分布密度为

　　　　　。

即

0 1

21　设随机变量的概率密度为

分别求（1），（2）的概率密度。
解　设所求的概率密度为，因为

（1）
　　　　　　（ⅰ）
显然只有当时，。而使的与的变化范围：当，即时，中的被积函数不等于0

即　　　
也可以用分布函数求
设的分布函数为，则
当时，；　
当时，

　　　　　　　　　其中

当时，因为只在矩形区域上不等于0，故

　其中（位于矩形区域的右上的三角形区域）

　当时，
所以　　　　
由此知　的概率密度为
　　　　　。
(2)　
　　　由教材之（5.8）知当时其概率密度为

又仅当，即时，上述积分的被积函数不。由此可得

　　　即　　　。

22设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
　　　　，
求随机变量的概率密度。
解　由卷积公式知的概率密度为

当时，；
当时，

当时，由知。
即　
23某种商品一周的需求是一个随机变量，其概率密度为

设各周的量是相互独立的，求（1）两周，（2）三周的需求量的概率密度。
解　设第一周的需求量为，第二周的需求量为，则
　　　，。
两周的需求量，
当时，

　　　　　　　故　　
　　　（2）设三周的需求量为，则由（1）知当时　

　　　　　　故　　　。
　　24　设随机变量的概率密度为

　　　　（1）问和是否相互独立？
　　　　（2）求的概率密度。
解　　因为　　

　　　　　　故的概率密度为

　　　　同理的概率密度为

所以　　不等于。
即　　　　　和不是相互独立的。
（2）由教材§3.5公式（5.1）知

而上述被积函数只有当
　　　　　，即　时才不等于0。所以

　　　　　　　　　　　　　。
25　设随机变量，相互独立，且具有的分布，它们的概率密度均为

求的概率密度。
解　因为，相互独，所以，由卷积公式得

　　　而，
仅当，即时，上述卷积不为0
　　　于是　　
　　　　　　　　　。
26　设随机变量，是相互独立的，它们的概率密度均为

　　　　　求的概率密度。
解　由教材公式（5.7）知的概率密度为

而，
　　　所以

又仅当，即时，上述积分不等于0，
于是当时有

于是　。
27　设随机变量和相互独立，它们都在区间服从均匀分布。是以和为边长的矩形的面积，求的分布概率密度。
解　由于面积是随机变量和的乘积，即，所以也是随机变量。问题实际上就是要求在和的边缘分布概率密度时的概率密度。
因为　　，
由于随机变量和相互独立，所以

又只有当，即时上述积分才不等于0。
　　时

于是　　　。

28　设随机变量和相互独立，它们都服从正态分布，试验证随机变量　　　　具有概率密度（称为服从参数为的瑞利（Rayleigh）分布）

解　由于随机变量和独立同分布，有

当时，是不可能事件，，；
当时，

　　　　　　　　　，其中。

所以　当时，

即随机变量服从参数为的瑞利（Rayleigh）分布。
29　设随机变量的概率密度为

　　（1）试确定常数；
　　（2）求边缘概率密度，
　　（3）求函数的分布函数。
解　　（1）确定常数
　因为　　

　　　　　所以　

　　　（2）求边缘概率密度，
　　　　因为
　　　　所以　

　　　　　　　　　　，。
　　　　同理　　
　　　　　　　　　　　　　（）

　　　　　　　　　　　。
即　　　　　　；
　　　　　　。
　　　（3）求函数的分布函数
　　　　　由于，故与相互独立。
　　　　　。
　　　　。
于是

　　　　　　　　。
30　设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地抽取4只，求其中没有只寿命小于180的概率。

解　随机地取4只，其寿命记作，，，，由题设知，它们是独立同分布的，且
，。
记，事件“随机地抽取4只没有只寿命小于180”即

　　　　　　　　　　　（由教材公式（5.14））

31　对某种电子装置的输出测量了5次，得到的结果为，，，，，设它们是相互独立的随机变量且都服从参数为的瑞利分布，
（1）求的分布函数；
（2）求；
解　（1）　因为，，，，是相互独立且都服从参数为的瑞利分布　　　　即　　　　　　

　　所以　　　　

　（2）　

（注：，，）。
　　　　32　设随机变量和相互独立且服从同一分布，试证明：
　　　　　　　　　，（）。
　　　　　证明　

　　　　　　　　　　（和相互独立）
　　　　　　　　　　　　　（和同分布）

33　设随机变量和相互独立，其分布律为

证明随机变量的分布律为

证明　因为随机变量和相互独立，则
　　　　　　　　，
　　　所以

　　　　　　　　　，。
34　设和相互独立的随机变量，，，证明

证明　因为和相互独立的随机变量，故
所以　

　　　　　　（是牛顿二项式的一般项。）

　　　，
即（服从参数为的泊松分布。）
35　设，证明

证明　因为和相互独立的随机变量，且
　　　　，，则

　　　　　　　　　。
即。
36设随机变量的分布律

　　0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　　5
0
1
2　
3
0.00　　　0.01　　　0.01　　0.05　　　0.07　　　0.09
0.01　　　0.02　　　0.04　　0.05　　　0.06　　　0.08
0.01　　　0.03　　　0.05　　0.05　　　0.05　　　0.06
0.01　　　0.02　　　0.04　　0.06　　　0.06　　　0.05
（1） 求，；
（2） 求的分布律；
（3） 求的分布律；
（4） 求的分布律。
解　由所给分布律可得对应的边缘分布律：

　　0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　　5

0
1
2　
3
0.00　　　0.01　　　0.03　　0.05　　　0.07　　　0.09
0.01　　　0.02　　　0.04　　0.05　　　0.06　　　0.08
0.01　　　0.03　　　0.05　　0.05　　　0.05　　　0.06
0.01　　　0.02　　　0.04　　0.06　　　0.06　　　0.05
0.25
0.26
0.25
0.24

0.03　　　0.08　　　0.16　　0.21　　　0.24　　　0.28

（1）
。
（2）

由此得

　　　　　　　　；

0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　5

　　0　　　　0.03　　0.16　　　0.28　　0.24　　0.29

（3）　　　　　　　　

即　

0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　

　　0.28　　0.30　　0.25　　　0.17　
（3）求的分布律
　　　因为，所以

即　

0　　1　　　　2　　　3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　　

0　　0.02　　0.06　　0.13　0.19　0.24　　0.19　　0.12　0.05　　

　　　　注2012年2月2日晚23：05分完成本章全部习题解答。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）