实变函数第三章测度论习题解答.doc

第三章 测度论习题解答1.证明：若E有界，则。证明 E有界，必有有限开区间E使得,因此.2.证明可数点集的外测度为零证明 设E，对任意，存在开区间，使得，且 （在空间中取边长为的包含的开区间），所以，且， 由的任意性得。3.设E是直线上一有界集合，则对任意小于的正数，恒有E的子集，使。 证明 设，则，令，= 是上的连续函数；当时，于是当 用类似方法可证明，当，时，即是上的连续函数。由闭区间上连续函数的介值定理=，=，因此对任意正数，存在，使，即，令，则。4.设是一些互不相交的可测集合，求证 证明 因为是一些互不相交的可测集合，由2定理3推论1，对任意T 有，特别取，则， ，所以。5.若，则E可测 证明 任意T，所以又，所以=0，所以因此，则E可测。6.证明康托集合的测度为0 证明 据康托集合的构造，即在中挖去可数个互不相交的开区间而成。第n次挖掉的长度为，因此P在中的余集的测度为又因 所以，即康托集合的测度为0.7.设,且，若A是可测集，证明证明 因A是可测集，由卡拉泰奥多里条件另一方面又有由，所以， 于是 ，代入前式得 证毕。8.证明：若E可测，则对于任意，恒有开集及闭集F，使，而 ， 证明 当时，对任意，存在一列开区间，使，且，令，则G为开集，且因此，。当时，E总可以表为可数个互不相交的有界可测集的和；对每个应用上面结果，可找到开集，使，且，令，G为开集，且，因此 又当E可测时，CE也可测，所以对任意，有开集G，且。因 ，令，则F是闭集，且 证毕。9.设，存在两列可测集，使得，且，则E可测 证明 对任意，所以，又， 所以对任意， 令，由，得。所以是可测的。 又可测，也是可测的，所以是可测的。10. 设，证明成立不等式： 证明 若或，则结论成立。 当且，取型集与，使,，并且，则，所以由第7题证毕。11. 设，若对于任意的，存在闭集，使得，证明E是可测集证明 由条件对任何正整数，存在闭集，使，令， 则F是可测集且。由于对一切正整数，有 ，故，所以是可测集。因此 是可测集。证毕