概率论第三章习题详解.doc

第三章 多维随机变量及其分布
习题八 二维随机变量
一、判断题
1、设是二维随机变量，事件表示事件与的
积事件. （ 是 ）
解：由P86定义2可得.
2、是某个二维随机变量的分布函数. （ 否 ）
解：
二、填空题
Y\X
1 2 3

1

2

1、若二维随机变量的概率分布律为

则常数 =
解：显然，即

于是
2、若二维随机变量恒取一定值（a,b），则其分布函数为

解：显然当时，由于，则

3、若随机变量的概率密度为

则.
解：1、由，有

2、
1
2
1

1
2
3、如图：
1
x+y=1(y=1-x)

4、
三、将三个球随机放入三个盒子中，用和分别表示放入第一个和第二个盒子中的球的
个数，求的联合分布律。
解：每个球有三种放法（放入三个盒子中的任意一个），则三个球共有种放法，于是
；
；
；

；
；
；
即
X

Y

0
1
2
3
0

1

2

3

四、设二维连续型随机变量的分布函数为

1、求常数的值；2、求的概率密度函数.
解：1、由 *
；
联立三式可解得

而带回*式得
即
2、

五、设随机变量的密度函数为
1、求常数的值；2、求的联合分布函数；
3、求和.
解：1、

2、
当时

于是
3、①
②

③

习题九 边缘分布、条件分布
一、 判断题

1、二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布. （ 是 ）
解：详见P101 例题2
2、边缘分布是正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布. （ 否 ）
解：边缘分布不能确定联合分布（P103）
二、填空题
Y\X
1 2 3
1
2
a 0.2 0.1
0.2 0.1 0.3
1、已知随机变量的联合分布律为

则a= 0.1 ,X的概率分布律为 ,Y的概率分布律为
Y
1 2
P
0.4 0.6
X
1 2 3
P
0.3 0.3 0.4

解：1、
2、

3、

2、设随机变量，则的概率分布为，的概率
分布为
解：P103面例题4的结论：
若
3、设二维随机变量的联合密度函数为

则常数 的边缘密度为 ,的边缘密度

为
解：1、由

2、

3、

三、已知随机变量的密度函数为
1、求和的边缘密度函数；2、求条件密度函数和；
3、求.
解：由

1、
即

即

2、

3、

四、设二维连续型随机变量在区域D上服从均匀分布，其中
，求.
解：由
于是如图，D为边长等于的正方形，则由题意有
x-y= -1
， 于是对
-1
1
x+y=1
-1
x-y=1
1
当时
当时
x+y= -1
其它
即：
五、设随机变量的密度函数为，求

和.
解：1），由题意有
当时，
当时，
即
y= x
2） 如图有
1
当时，
y= -x
-1
当时，
当时，
即
3）

六、设==求.
解：1）由已知得
y= x
1
令，则D为如图所示

2）于是对 ，如图有
当时
当时
即
3）

习题十 随机变量的独立性
一、 填空题
Y\X
1 2 3

1

2

b c

1、设随机变量X与Y相互独立，其联合分布律为

则a=，b=，c=
解：由独立性有

2、设随机变量与相互独立，其概率分布分别为
X
0 1

p

Y
0 1

p

则
解：由独立性有

3、设随机变量，则X与Y相互独立的充要条件是
解：P115 定理2
4、设随机变量与相互独立，则它们的函数与 是 （用“是”或“不是”

填空）相互独立的随机变量.
解：因为与均为连续函数，由P116结论可得.
二、选择题
1、如下二维随机变量的分布律或密度函数给出，则X与Y不相互独立的是（ D ）
Y\X
-1 0 2

1

2

A、 B、
Y\X
1 2 3
1
2
3
0.01 0.03 0.06
0.02 0.06 0.12
0.07 0.21 0.42

C、联合密度
D、联合密度
解：对D选项有
当时，
当时，
即
当时，
当时，
即

于是
2、设二维连续型随机变量服从区域D上均匀分布，其中
，则 （ C ）
A、落入第一象限的概率为0.5 B、都不服从一维均匀分布
C、相互独立 D、不相互独立
1
解：D表示的区域如图所示，即
-1
-1
1
则由题意有
1）对A选项，
故A错
2）对B选项，由P101 例2可知B错
3）

于是 故C对
三、已知二维随机变量的密度函数为
1、判断X与Y是否相互独立； 2、判断与是否相互独立.
解：1、由
当时，

当时，
即
由
当时，
当时，
即
于是 ，即X与Y相互独立.
2、因为与均为连续函数，则由P116结论可知它们相互独立.
四、设随机变量X与Y相互独立，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1、 求X和Y的联合密度函数；
2、 设含有a的二次方程，试求a有实根的概率。
解：1、由题意 而X与Y相互独立
则
2、

如图所示
1

其中

习题十一 两个随机变量的函数的分布
一、 判断题
1、若X和Y都是标准正态随机变量 ，则. （ 否 ）
解：P125定理2——X和Y需要相互独立，结论才成立.
2、若，且X与Y相互独立 ，则. （ 是 ）
解：P125定理3
3、若X与Y相互独立且都服从指数分布，则. （ 否 ）
解：由题意有

令,则由卷积公式
当时

当x,z不在该区域时，
即，于是不服从指数分布.
二、填空题
1、设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布，且X的分布律为，则的分布律是

解：由题意有 ，且

2、设X和Y独立同分布，密度函数为，分布函数为，则的密度函数为.
解：

于是

三、选择题
1、设随机变量X和Y相互独立，，则（ B ）
A、 B、
C、 D、
解：令，于是

Y\X
-2 -1 0
-1

0

3
0
四、若二维随机变量的概率分布律为

求下列随机变量的概率分布：
1、 ;;
2、 .

解：1、

其中

2、

其中
五、1、已知二维随机变量的密度函数为
求概率密度函数；
解：
如图，当时，

2Z
D

X+Y=2Z
当时，
即
于是
2、已知二维随机变量的密度函数为
求概率密度函数；
解：
Y=X
图1
如图1， 当时，

X-Y=Z

图2
Y=X
1
Z

X-Y=Z
Z
如图2，当时，
D
1

当时，
即
Z
于是

六、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为

求随机变量概率密度.
解：由卷积公式
而由题可知只有在即的区域内，不为零
于是如图所示
当时，，则
1
Z=X
1
Z
当时，
当时，
X
即：
七、设某种商品一周的需求量是一随机变量，其密度函数为
如果各周的需求量是相互独立的，试求：两周的需求量的概率密度；
解：设分别表示某两周的需求量
则,
而表示两周的需求量，由卷积公式
而只有在即的区域内不为零，
Z=X
Z
X
于是如图
当时，，
则
当时，

即

第三章 复习题
一、填空题
1、设随机变量X和Y同分布，X的分布律，且，则 0 .
解：由题意有
X
Y
-1
0
1
-1

0

1

由
而
于是
且 而
所以
2、设平面区域D由曲线及直线围成，二维随机变量

在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘密度在处的值为
Y

解：如图
1

X
于是
当时
即
3、设二维随机变量的密度函数为其中G是区域，则系数A =，
条件密度=， =
解：1、
Y

2、 如图
4
当时，
X
2
当时，
即

于是
3、 如上图
当时，
当时，
即
于是

4、已知，，，X与Y独立，则a=，
b=，联合分布为
X
Y
1
2
3

-1

-2

-3

（可将a,b代入算出具体值）
概率分布为

-2
-1
0
1
2

p

. （可将a,b代入算出具体值）

解：1、
2、
3、4、显然可得
5、设随机变量X和Y相互独立，其中，则概率密度函数为
解：由题意有，
则于是

二、选择题
1、设二维连续型随机变量与的联合密度分别为和
令，要使函数是某个二维随机变量的联合
密度，则当且仅当a,b满足条件（ D ）
A、 B、
C、 D、
解：由定义知 于是

又，而
于是时，有

所以选D.
2、设随机变量X和Y都服从正态分布，且，则
（ A ）
Y
A、 B、 C、 D、1
1
-1
解：由于X和Y都服从正态分布，则X和Y的分布关于坐标轴
1
对称X
，于是如图有
-1

3、设随机变量X和Y相互独立，且服从同一名称的概率分布（二者的分布参数未必相
同），已知与服从同一名称概率分布，则服从（ D ）
A、均匀分布 B、二项分布 C、指数分布 D、正态分布
解：由P125定理2可得.
4、设X和Y是独立同分布连续型随机变量，则（ B ）
A、 B、
C、 D、
解：由于X和Y是独立同分布，则它们的密度函数为
且X和Y的联合密度函数为，于是
（一条线上二重积分等于0）
5、随机变量X和Y相互独立，服从正态分布则（ D ）
A、 B、
C、 D、
解：

三、设二维随机变量的联合密度函数为
1、求常数k；
2、求落在以为顶点的正方形内的概率；
3、问X与Y是否独立？
解：1、已知，而

Y
于是
1
2、如图
1
D
X

3、

于是，即X与Y独立.
四、已知随机变量X与Y概率分布分别为
X
-1 0 1
p

Y
0 1
p

且.
1、 求X和Y的联合分布；
2、 问X与Y是否独立？并说明原因.
解：1、设
X
Y
-1
0
1
0

1

由
而
X
Y
-1
0
1
0

1

又
于是

即：
2、显然
即X与Y不相互独立.
五、设某仪器由两个部件构成，X与Y分别是这两个部件的寿命（千小时），已知的联合分布函数为

1、 求边缘分布函数，；
2、 求联合密度和边缘密度，；

3、 求两部件寿命均超过100小时的概率.
解：1、

2、

3、 （注：X与Y的单位是千小时）

六、设随机变量X和Y同分布，其概率密度为

已知事件和事件相互独立，且，求常数a.
解：由于X和Y独立同分布，所以且
于是
而
当时，
七、设随机变量的密度函数为

求概率密度.
解：由
其中被积函数只有满足
Z=1+X
1
Z
时才不为0，于是如图
Z=X
1
X
当时，
当时，
即
八、设X和Y是两个独立同分布的随机变量，分别表示两个电子元件的寿命（小时），其密度函数为

求的概率密度.

解：
Z
其中只有满足
1000
1
X
时才不为0，于是如图
当时，
当时，

即
九、在（0，a）线段上任意抛两点（抛掷两点的位置在（0，a）上独立地服从均匀分布）.试求两点间距离的分布函数.
解：设两点的坐标分别为X和Y，则显然X和Y相互独立且都服从
则X和Y的联合概率密度为

令,则Z为两点间的距离，于是

当时，显然
当时，显然
当时，如图
X=Y+z
X=Y-z
Y

D
a-z
a
z

a
S
-z
-z
z
X

即

第三章 自测题
一、 填空题
1、设随机变量的密度函数为

则常数k=，又设，则概率=
解：1、

2、

2、设二维随机变量的概率分布为

（0,0） （-1,1） （-1,2） （1,0）

p

则X的边缘分布律为

-1 0 1

p

Y的边缘分布律为

0 1 2

p

解：1、

2、

3、设二维随机变量的密度函数为

则边缘密度=，=，=
解：1、
2、

3、
4、设二维随机变量的密度函数为

Y
1
X+Y=1
则

Y=X
X
解：如图
5、若，且X与Y相互独立，，则
解：由~ （P77例5）
于是~ （P125定理2）

二、选择题
1、设二维随机变量的密度函数为

则（ B ）.
A、 B、
1
Y=X
Y
C、 D、
1
X
解：如图
X
-1 0 1
p

2、设随机变量X和Y有相同的概率分布：

并且满足：，则=（ A ）

A、0 B、0.25 C、0.5 D、1
解：设
X
Y
-1
0
1
-1

0

1

由
则
而

于是
3、关于事件和，有（ B ）.
A、为对立事件 B、为互斥事件
Y
C、为相互独立事件 D、
X>a, Y>b
b
解：如图可知

a
X

4、设X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ A ）.
A、 B、 C、 D、
解：由X与Y都服从区间（0，1）上的均匀分布，有
，
又X与Y相互独立，则

即服从上的均匀分布
X\Y
1 2 3

1

2

a b
5、随机变量X和Y的联合分布律为

且X与Y相互独立，则a,b的值是（ B ）.
A、 B、
C、 D、
解：由
而X与Y相互独立，即

三、盒子里有3只黑球，2只红球，2只白球。从中任取4只，以X表示取到黑球的数目，以Y表示取到红球的数目。求随机变量的联合分布律及其关于X和Y的边缘分布律.
解：

X
Y
0
1
2
3

0
0
0

1
0

2

0

四、已知二维随机变量的联合密度函数为

1、求常数c的值；
2、求联合分布函数；
3、求X和Y的边缘密度函数；
4、求及；
5、问X与Y是否独立.
解：1、由
2、由，有
① 当或时，
② 当时，

③ 当时，
④ 当时，
⑤当时，
于是

3、①，
当时，
当时，
即
②
当时，
当时，
即
4、

5、由
于是X与Y不独立.
五、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为

1、求的联合密度函数；
2、求.

解：1、由独立性有
2、由条件概率公式和独立性有

X
1 2
p
0.3 0.7
六、设随机变量X和Y相互独立，其中X的概率分布为

而Y的概率密度为，求的概率密度.
解： （应用全概率公式有）

于是

七、1、设随机变量X和Y概率密度函数分别为和，且设
为二维随机变量 的联合密度函数，证明：
证明：由概率密度的性质有

而

于是

2、设，，且X与Y相互独立，试证.
注：代表X服从泊松分布.
解：由题意知
由独立性有

（二项式定理）
所以

第三章 考研训练题
一、 填空题
1、设X与Y为两个随机变量，且，，则=
解：
Y

X

2、在区间（0，1）中随机地选取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为
解：设两数分别为X，Y，显然，如图
1
Y

1

X

3、设二维随机变量在半单位圆域上服从均匀分布，Z表示三次独立观察中事件出现的次数，则=

y

解：由于服从均匀分布，于是
x
如图有

则
4、设变量X与Y独立，且，
，令要使X与Z独立，则p =
解：由题意，显然X与Y均服从两点分布，于是

要使X与Z独立，则

二、选择题
X\Y
0 1
0
1
0.4 a
b 0.1
1、若二维随机变量的概率分布为

已知随机事件与相互独立，则（ B ）.
A、 B、
C、 D、

解：由题意

即
且 联立两式可得
2、X和Y是独立同分布随机变量：，
，则下列各式中成立的是（ A ）.
A、 B、
C、 D、
解：

3、设X与Y为两个随机变量具有相同的分布函数。随机变量的分布函数为，则对任意实数x，必有（ C ）.
A、 B、
C、 D、
解： 而 显然A,D错误
且 都为单调不减函数
于是选 C
4、设和为随机变量设矩阵，，
已知其中分别表示矩阵

X和Y的行列式。记，则p的值是（ A ）.
A、0.2 B、0.6 C、0.16 D、0.64
Y
解： 如图
X

三、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量 在（0，x）上服从均匀分布，求：
1、和的联合密度函数；2、的概率密度函数；3、.
解：1、由题意
y=x
于是
Y
2、如图
Y
1
X

y+x=1
y=x
1
3、 如图

1
X
于是

四、设随机变量和的联合分布是正方形上均匀分布，求的概率密度.
解：由题意有 于是由分布函数法有

x-y= -u
x-y=u
3
Y

D
u
3
u
1
1
X
如图有：当时
当时
当时

于是
五、已知随机变量的联合密度函数为
Y
求和的联合分布函数.
1
解： 如图有
1
X
① 当或时，
② 当时，
③ 当时，
④ 当时，
⑤ 当时，
于是

六、已知随机变量的联合密度函数为求
的分布函数.
解： 如图

Y
① 当时，
x+2y=z
z
X
② 当时，

于是
七、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为
求的概率密度.
Y
解：（分布函数法）由独立性有:
z
如图
X
① 当时，
1

2x+y=z
② 当时，
③ 当时，
于是
则
八、设某班车起点站上车乘客人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为

，且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求： 1、在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率；
2、二维随机变量的联合概率分布.
解：由题意有
1、所求概率为 （由独立性有）

2、

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