第三章习题解答(下).doc

习题3-1
1、计算下列第二类曲线积分：
（1）L为抛物线上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；
（2）L为按逆时针方向饶行的圆；
（3）L为螺旋线上由t=0到t=2的有向弧段;
（4）L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；
（5）其中L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；
（6）其中，L按逆时针方向饶行的圆.
解（1）化为对x的定积分，L: ，x从0到2，所以
=
（2）圆周的参数方程为：

=
=
=
（3）L的参数方程为：，t从0到2，所以=
=
（4）直线的参数方程为：
代入

=
=
（5）三条直线段的方程分别为
y=0,x从0到1；
x=1,y从0到1；
y=x,x从1到0.
所以 =

=0

2、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.
解：由题意知，场力所作的功为

L: ,x从R变到0，
于是，w=
3、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P沿椭圆逆时针方向绕行一周，力F所作的功.
解：
椭圆的参数方程为：，t从0到2
所以，

4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线从点移动到时，该场力所作的功.
解：
直线的参数方程为：，t从1到2
所以，
习题3-2答案
1、 解：记S在x>0一侧为，在x<0一侧为，在z=h上的部分为，在z=0上的部分为，在y>0一侧为，在y<0一侧为，则由题有

同理可得：

2、解：（1）由题在xoy面上的投影区域，

（2）
（3）将S分成和，其中：z=h，取上侧，
：，x>0取下侧
则(4)记S在z=0上的部分为，在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上的部分为,在上的部分为.有

3、 解：（1）

原式=.
（2）

原式=

§3-3格林公式及其应用
1．
(1) ，，
(2) , ,

（3），

（4），
而在以为起点为终点的直线上

所以原式

2．，
因为积分与路径无关，所以,得

3.(1) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.
，得

，故
(2)
，是二元函数u(x,y)(的全微分.
，得

，故
(3) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.
，得

，故
(4)
，是二元函数u(x,y)(的全微分.
，得

，故
4．
（1）

,故为全微分方程。

，故
通解为
（2）

,故为全微分方程。

，故
通解为
（3）

,故为全微分方程。

，故
通解为
（4）

,故不是全微分方程。
§3-4高斯公式和斯托克斯公式
1
（1）
原式=
=
=
=
（2）
原式=
=
=
=
（3）
原式=
=
=
=
=
（4）
原式=
=
=
（5）
原式=
=
=
=

2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域
的上侧,

(2) 取为平面被L所围成的部分的上侧, 的面积为的单位法向量为,

3.解:
其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yoz面上的投影区域为线段,所以,又在xoy面上的投影区域为,所以
,

习题3—5
1． 解：（1），
，

（2），
，

（3），
，
。
2． 证明：场力沿路径L所作的功为，要证明场力所作的功与所取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。
在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以上面的积分与路径无关，因而结论正确。
3．解：（1）
（2）
（3）
（4）
4．证明：（1）
所以A为有势场

（2）
所以A为有势场