解析几何中定值问题的探究.doc

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圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．
【热点难点精析】
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．
解答此类问题的基本策略有以下两种：
1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．
2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．
（苏教版选修2-1- P.54思考运用12）设过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2 =-p2
【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：
y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：
y2=2P()即  ∴y1·y2= -p2.

解析几何中定值问题的探究
江苏省扬中高级中学数学组
教学目标：
知识与能力：掌握解析几何中有关定值问题的求解方法；
过程与方法：由一个问题的引申、探究 、应用，培养学生观察分析问题和等价转化的能力，培养学生类比的思想，函数方程的思想，消元的思想，数形结合的思想；
情感态度与价值观：鼓励学生积极参与，积极探究，培养学生合作交流的能力，使学生学会思考和感悟。
教学重点：解析几何中有关定值问题的求解方法
教学难点：解析几何中有关定值问题的求解方法，如何灵活运用已知条件巧设变量
一、 问题引入：
已知圆为过圆心的一条弦，为圆上任意一点，，且不为0，试判断为定值。

思考：将圆压扁变成椭圆，是否还有类似的结论？
若是过椭圆中心的一条弦，为椭圆上任意一点，且直线与坐标轴不平行，分别表示直线的斜率，则_________.

已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，记直线，的斜率分别为.
（1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标。

（11年18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以
（2）由得，，AC方程：即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：

法二：设,
A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得：,
,
【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP与直线MN的方程组.求出交点坐标(用k表示)，再由中点坐标公式构建关于k的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P到直线AB的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用kPB＝-可较快求出B点坐标.
【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.

（09辽宁）已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(－1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(1)由题意,c＝1,可设椭圆方程为,
因为A在椭圆上,
所以,
解得b2＝3,(舍去).
所以椭圆方程为.
(2)设直线AE方程:
,代入得
(3+4k2)x2+4k(3－2k)x+4()2－12＝0.
设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上,
所以,.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以－k代k,可得,
.[来源:学§科§网]
所以直线EF的斜率,
即直线EF的斜率为定值,其值为.

(2011镇江高三调研)
已知圆方程为，椭圆中心在原点，焦点在轴上。
（1） 证明圆恒过一定点，并求此定点的坐标；
（2） 判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；
（3） 当时，圆与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点,求此时椭圆方程；在轴上是否存在两定点，使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线的斜率之积为定值？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

变1:若双曲线方程为，为不平行于对称轴且不过原点的弦，为中点，设，的斜率分别为，则
2.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1·k2的值为（    ）
A.2            B.-2                 C.                 D.-
【答案】【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点P(x0,y0),则k1=,k2==.
    将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-.
    ∴k1·k2=·
    ==-.
答案：D

18．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)

O
M
N
F2
F11
y
x

如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？
请证明你的结论．
18．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，圆的方程及平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查解析几何的基本思想、综合运算能力．
（1），且过点，
解得 椭圆方程为…………………………4分
设点 则，
，又，
的最小值为．………………………………………………………………10分
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：.……………………………………16分
，
令，得，.
圆过定点.………………………………………………………………16分

（南通一模）如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为 ．
【答案】
解法一：由得，进一步求得直线BD的斜率为，由，
∴直线CD的斜率为。
解法二：由得，因为，所以， 故.
说明：解法一中，在明确条件和目标的过程中，发现能整体代换是简化运算的关键，否则计算量较大；解法二中，要注意体会椭圆中“”这一重要结论.
（盐城二模）已知椭圆的离心率为, 且过点, 记椭圆的左顶点为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值；

A
P
·
x
y
O
(3) 过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点, 且, 求证: 直线恒过一个定点.

18．解:(1)由,解得,所以椭圆的方程为
(2)设,,则
又, 所以,
当且仅当时取等号
从而, 即面积的最大值为
(3)因为A(－1,0),所以,
由,消去y,得,解得x=－1或,
∴点 同理,有,而,
∴
∴直线BC的方程为,
即,即
所以,则由,得直线BC恒过定点
(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设,然后代入找关系)

已知圆方程为，椭圆中心在原点，焦点在轴上。
（4） 证明圆恒过一定点，并求此定点的坐标；
（5） 判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；
（6） 当时，圆与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点,求此时椭圆方程；在轴上是否存在两定点，使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线的斜率之积为定值？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

（南师大信息卷）,
(1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程.
(2)点P在椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.
(3)平行于CD的直线交椭圆E于M、N两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.
解：

(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P(x,y),

.
.
(3)直线CD的斜率为，CD平行于直线，
设直线的方程为
由，
消去，整理得，
,

.
点C到直线MN的距离为

当且仅当