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一次函数概念实质探究
宝鸡教育学院 邮编 721000
任亚莉
一、 问题提出：
初中数学作业有如下题目：1、已知,问当k为何值时，y是x的一次函数？
解:由解得,舍去不合题意的,即当时,是一次函数.
问题一、为何不可以?
1、 判断下面式子表示的是不是一次函数?
(1) y=-2x （2）2x-3y=0 （3）x+5y=1 （4）
解:都是一次函数.
问题二、为何二元一次方程也是一次函数?正比例函数也是一次函数?
二、问题的实质是什么？
一次函数定义：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k≠0，k、b均为常数），则称y是x的一次函数（其中x为自变量，y为因变量）.特别地,当b=0时，称y是x的正比例函数.
由一次函数定义知，问题一原因是一次项系数为零,定义中一次项系数不允许为零.
由定义知一次函数表示为（k≠0，k、b均为常数）.哪么时, (b为常数),这是什么?它是函数吗?,它为什么没有自变量x? 只是y等于一个常数,它是函数吗?
结论:到高中后学生会学到，它是常量函数,它有自变量,只是系数为零.当自变量x变化时,函数值y不变,永远是唯一值b.它是一类基本初等函数.
隐函数的定义:由二元方程F(x，y)=0所确定的y与x的函数关系称为隐函数。其中因变量y不一定能用自变量x直接表示出来.
由隐函数的定义知，问题二原因是 (1)、（2）、(3)是一次函数,但严格说（2）、(3)是用隐函数表示的一次函数.即是用方程表示的符合一次函数的关系的隐函数.同时(1)、（2）又是正比例函数.哪么正比例函数为何也是一次函数呢?原因是正比例函数是一次函数的特例,是常数项为零的一次函数.但是一次函数不全是正比例函数. (1) 、（4）是显函数表示的一次函数.
三、一次函数的实质
不论是显函数表示为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的一次函数,还是隐函数表示为二元方程F(x，y)=0的一次函数,在自变量和因变量联系的式子中,x，y都是一次的,且,x，y的系数都不为零.归根结底就是， 一次函数表达式是x，y的二元等式,x，y的次数都是一次，x，y系数都不为零.从图像说,在坐标系中,除掉坐标系两条直线、平行于两坐标系的所有直线外，其余能用直线表示的函数，都是一次函数.

参考文献: 1孔凡哲 章飞 北京师范大学出版社 数学<义务教育课程标准实验教科书>,八年级 上册.
2高汝熹 武汉大学出版社 高等数学（一）微积分