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函数凹凸性的应用

什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.

如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？
设函数在区间上是凸的（向下凸）,任意,（）.
曲线上任意两点,之间的图象位于弦的下方,即任意,的值小于或等于弦在点的函数值,弦的方程
.
对任意有,整理得
.
令,则有,且,易得,上式可写成

1.1凸凹函数的定义
凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设，（1）则称为上的凸函数。若
（2）
则称为上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称为上的凹函数与严格凹函数。
显然，为上的（严格）凸函数是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。
直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据：
若在内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：
1. 。其几何意义是“现在曲线的上方”;
2.其几何意义是“切线在曲线的下方”；
3. ；
4.
定义2 设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.
必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.
1.2 凸函数的特征
引理 f为I上的凸函数对于I上任意三点总有：
(3)
严格凸函数上式严格不等式成立.
证 记,则及, 由的凸性知
          (4)      从而有

即   
整理即得式.
,记,则,
由必要性的推导步骤可逆,从式便得式.故为凸函数.
同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即,,有

严格凸函数上式严格不等式成立.
定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．
证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)　当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：
．
如图所示,再在中任取两点.　应用引理得到

．
令
                             ,
则
, ．　
　　显然,上述 L与中的点无关,　故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．
　　由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．　
如果f是I上的可导函数,则进一步有：
1.3、凸函数与导数的关系
定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意两点总有
证 (i)(ii)　,并取,使

据定理3.12,有

由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到
．
所以是上的递增函数．
　　(ii)(iii)　由微分中值定理和递增,便可证得

当时,也有相同结论．
(iii)(i)　,并记,则有
,
由(iii)可得

.
注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．

如果f在I上二阶可导,则进一步有：
定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数（）,.为严格凸1）；2）不在上的任一子区间上恒为零.
此定理说明：为严格凸,则曲线中不含有直线段（）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为凸,则凹）.
可导函数有如下相互等价的论断：
1）为上凹函数.
2）,有.即割线斜率递减.
3）为上递减函数.
4）,有,.当在上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.
5）在上.
对严格凹的情形可类似得出等价论断.
二、拐点
定义2 设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.
定理3（拐点必要条件） 若f在二阶可导,则()为曲线y＝f(x)的拐点的必要条件是.
综上知：()的拐点,则要么（1）；要么（2）f在点不可导.
定理4 设f在点可导,在某邻域内二阶可导,若在和上的符号相反,则()为曲线y＝f(x)的拐点.
例1 讨论函数的凸性与拐点.
解 ,因而当时,；当时,,从而函数为上的凸函数,在上为凹函数.而在原点连续,故原点为曲线的拐点
例2 若在内可导、凸（凹）函数,则为的极小（大）值点.即为的稳定点.
证 ）费马定理.
      ）因凸,故有.因,故总有.即为的极小值点.
例3 设在开区间上为凸（凹）函数,证明在开区间内任一点都存在左、右导数.
证 只证凸函数在存在右导数,其它情形同理可证.
令,记,,则（取充分小使）,
由式得：

记  
则有即为单调递增函数.取且,则,
从而递增有下界,从而存在,即存在.
注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为.由第五章§1习题10知（若在的左、右导数都存在,则在连续）,若在为开区间内的凸（凹）函数,则为内的连续函数.（但不一定可导,如）
三．凸凹性的应用
了解函数凸凹性的判别依据后，我们更在乎在应用领域，它所发挥的重要而广泛的价值。
3.1 凸凹性质的应用
例题4 设也是上的凹函数。
证：设有
由此推出

由凹函数的定义，即知是上的凹函数。
命题 设为区间上得二阶可导函数，如果有，那么
其中是正数，
证明 记，那么有泰勒公式得

其中由题设，于是
证毕。
特别地，我们可以有如下推论。
推论 设为区间上连续，内二阶可导函数，且，
设是区间上的可积函数，，那么有
。
对于函数凸凹性的应用另一个方面是在不等式中，而实际中凸函数在不等式中的证明是最常见的。
例题5 设，证明
证明 由知，是一个凸函数，而是一个
正值函数且满足，于是由上面的结果知
化简得 证毕。
例6 证明: 对 有不等式 .
例7 设,则

当且仅当所有全相等时等号成立.
证 所有全相等时,等号显然成立.只须证不全等时,有严格不等号成立即可.
取,则在上严格凸,由例4知

即   
因严格增,故有

又不全等不全等,故

所以     
例8 在⊿中, 求证 .
解 考虑函数在
区间内凹, 由Jensen不等式, 有
.
.

4.1多元函数凹凸性的几个定义
定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若 则
（1）设 总能分解成则在D上是凹（凸）的；
（2）设（1）的条件成立并且关于的两个不等式中，
则称D是凸函数，否则称D为凹函数。　

定义4.1.26
设是定义在凸函数D上的函数，是D上的任意两点，记
（1）若恒有且等号不恒成立，则称在D上是凹（或凸）的
（2）若则称在D上是严格上的凹（或凸）的。
（3）若，则称在D上是线性的，
则称在D上是线性的。这两种定义是等价的
在二元函数中，设D是２维空间的一个区域，若 则由定义一知（1）设总能分解成 则在D上是凹（凸）的；
（２）设（1）的条件成立并且关于的两个不等式中，则称D是凸函数，否则称D为凹函数。

由定义二知
设是定义在凸函数D上的函数是D上的任意两点，记
（1）若恒有且等号不恒成立，则称在D上是凹（或凸）的
（2）若则称在D上是严格上的凹（或凸）的。
（3若则称在D上是线性的。
例如三元函数就是一个凹函数
4.2多元函数凹凸性的几个判定定理
定理4.2.18
设是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记若且不恒为0，那么，当或，函数在D上上凹，当A>0或C<0，函数在D上上凸，若当或，函数在D上是凹的，
当或C<0，函数在D上上凸。
证明:任取记由泰勒公式
则当时

则

当时，定理得证
利用泰勒公式，我们不难证明
定理4.2.29设是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有在D上是严格凹（凸）的。
若，则在D上线性的。
定理一和定理显然不难推广到一般的多元函数中去，这里不再叙述。
定理4.2.39 设是凸区域D上的n元函数，是任意常数}是D中的任意平面区域；（1）在D上上凹（凸）的等价于在上上凹（凸）或线性，但非恒线性的；
（2）在D上严格凹（凸）的等价于在上是严格上凹（凸）的；
（3）在D上是线性的等价于在D上是线性的。
证明：（只证严格上凹的情形）设在D内任何平面区域上均严格上凹，故有
因而在D上严格上凹。反之，若在D上严格上凹，显然在任何上也是严格上凹。