求解函数解析式的几种常用方法.docx

高中数学复习专题讲座　　　　　　　　
题目 高中数学复习专题讲座求解函数解析式的几种常用方法
高考要求
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力
重难点归纳
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2 换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
典型题例示范讲解
例1 (1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式
命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力
知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域
错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错
技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法
解 (1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则x=at
因此f(t)= (at－a－t)
∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)
(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
得
并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，
所以所求函数为
f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1
或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1
例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象
命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型
知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线
错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱
技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式
解 (1)当x≤－1时，设f(x)=x+b
∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2
(2)当－1<x<1时，设f(x)=ax2+2
∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1
∴f(x)=－x2+2
(3)当x≥1时，f(x)=－x+2
综上可知 f(x)=作图由读者来完成
例3已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1)
解法一 (换元法）
∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1
令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u
∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二 (配凑法）
f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),
即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4)
学生巩固练习
1 若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )
A 3 B C － D －3
2 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于( )
A f(x)=(x+3)2－1 B f(x)=(x－3)2－1
C f(x)=(x－3)2+1 D f(x)=(x－1)2－1
3 已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_________
4 已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________
5 设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式
6 设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式 若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值
7 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图
8 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5
(1)证明 f(1)+f(4)=0;
(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式
参考答案
1 解析 ∵f(x)= ∴f［f(x)］==x,整理比较系数得m=3
答案 A
2 解析 利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，
又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1
答案 B
3 解析 由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3
由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x
答案 f(x)= －x
4 解析 ∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0 又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)=x2+x
答案 x2+x
5 解 利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=
6 解 (1)设x∈［1,2］,则4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),
又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4
(2)设x∈［0，1］，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,
又由(1）可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)2+4,
设A、B坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,
则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，
∴=2t2(2－t2)·(2－t2)≤()3=,
当且仅当2t2=2－t2,即t=时取等号
∴S2≤即S≤,∴Smax=
7 解 (1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为
f(x)=
(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解
如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；
当P在BC上时，即1＜x≤2时，
S△ABP=AB·BP=(x－1）；
当P在CD上时，即2＜x≤3时，
S△ABP=·1·1=；当P在DA上时，
即3＜x≤4时，S△ABP=(4－x)
故g(x)=
8 (1)证明 ∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(4)=f(4－5)=f(－1),
又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0
(2)解 当x∈［1,4］时，由题意，可设
f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，
解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4)
(3)解 ∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,
又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),
∵f(1)=2(1－2)2－5=－3, f(1)=k·1=k,∴k=－3 ∴当0≤x≤1时，f(x)=－3x,
当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,
当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15,
当6＜x≤9时，
1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5
∴f(x)=

课前后备注 　

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