方程的根与函数的零点.docx

方程的根与函数的零点教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x26 x1=0的实数根。变式：解方程3x56x1=0的实数根. （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度函数来解决这个方程的问题。）设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。（二）新知探究1、零点的概念问题1 求方程x22x30的实数根，并画出函数yx22x3的图象； 方程x22x30的实数根为-1、3。函数yx22x3的图象如图所示。问题2 观察形式上函数yx22x3与相应方程x22x30的联系。函数y0时的表达式就是方程x22x30。问题3 由于形式上的联系，则方程x22x30的实数根在函数yx22x3的图象中如何体现？y0即为x轴，所以方程x22x30的实数根就是yx22x3的图象与x轴的交点横坐标。设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。初步提出零点的概念：-1、3既是方程x22x30的根，又是函数yx22x3在y0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。问题4 函数yx22x1和函数yx22x3零点分别是什么？函数yx22x1的零点是-1。函数yx22x3不存在零点。设计意图：应用定义，加深对概念的理解。提出零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点（zero point）2、函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。 （）问题5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ （）第组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第组中他的行程就不一定曾渡过河。设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。问题6 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？A、B两点在x轴的两侧。设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。问题7 A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）f（b）0来表示。设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。问题8 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：一般地，我们有：如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）f（b）0，那么函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）0的根（三）新知应用与深化例题1 观察下表，分析函数 在定义域内是否存在零点？21012-109-10-18107分析：函数 图象是连续不断的，又因为 ，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x， 的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识例题2 求函数 的零点个数分析：用计算器或计算机作出x， 的对应值表和图象。123456789-4.0-1.31.1 3.4 5.6 7.8 9.912.114.2由表可知，f (2)0,则 ，这说明函数 在区间（2，3）内有零点。结合函数 的单调性，进而说明 零点是只有唯一一个设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。练习：判断下列函数是否存在零点，指出零点所在的大致区间? f（x）=2xln(x-2)-3；f（x）= 2x2x6（四）总结归纳设计通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师再从数学思想方面进行总结（五）目标检测设计必作题：1教材P92习题31（A组）第2题；2求下列函数的零点：（1） （2） ；（3） （4）3求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1） （2） 4已知 （1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值选做题：设函数 （1）利用计算机探求 和 时函数 的零点个数；（2）当 时，函数 的零点是怎样分布的？