方程的根与函数零点教案.doc

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点

【教学目标】
知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在” 的判断方法，对新知识加以应用.
能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.
情感、态度与价值观:
认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；
培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；
让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.
【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
【教学难点】 函数零点存在性定理的理解及初步应用
【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合.
【教学过程】
（一）抛转引玉
浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？
2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？
3）能计算出具体的时刻吗？
（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）
（二）溯本逐源
复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：

一元二次方程
根的个数

二次函数图象与轴
交点个数

二次函数图象与轴
交点坐标

（设计意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）
在《几何画板》下展示如下函数的图象： 、、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系.
函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．
（设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数.）
1．函数零点概念
对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
2．方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点
　　　　　　函数有零点
以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础．
（三）顺藤摸瓜
浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，温度是不均匀变化的，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？
（学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图，教师选取几个具有代表性的图用实物投影仪加以展示，并让学生解释为什么这一时刻仍存在，使学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.）
（设计意图：通过类比得出零点存在性定理,此刻体现变式教学．）
给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
（四）牛刀小试
1.
2．求函数的零点的个数．
(设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．)
（五）抽丝剥茧
问题1. 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？
问题2.若，函数在区间在上一定没有零点吗？一定有零点吗？
问题3.若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？
问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数在区间在上只有一个零点？
(设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．)
（六）再接再厉
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内必定有零点？为什么？
x
1
2
3
4
5
6
f (x)
20
-5.5
-2
6
18
-3
2.函数在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗?
(设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想.)
（七）提纲挈领
1.知识小结： 零点的概念、方程的根与函数的零点 零点存在定理
2.思想方法小结：化归思想 数形结合思想 方程函数转化思想
（八）作业与课外活动
作业：
练习1 、2
课外活动
在一个星期内,四位同学为小组合作完成一篇关于方程发展史的数学小论文或去探究一下如何缩小零点所在的区间.