框架结构稳定分析的泡函数有限元法.pdf

第2 7卷 第2期华 侨 大 学 学 报(自 然 科 学 版)V o l.2 7 N o.2 2 0 0 6年4月J o u r n a l o fH u a q i a oU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)A p r.2 0 0 6 文章编号 1 0 0 0-5 0 1 3(2 0 0 6)0 2-0 1 5 5-0 4框架结构稳定分析的泡函数有限元法高轩能 王仁辉(华侨大学土木工程学院,福建 泉州3 6 2 0 2 1)摘要 寻求一种既有普通杆件有限元的简洁性,又能求解所有框架结构临界载荷的有效方法.根据框架结构杆件失稳变形和泡函数的特点,采用新的基函数系,在普通杆件有限元的形函数中引入泡函数,得到泡函数有限单元法.泡函数是定义在有限单元上的一个模型,其在单元的边界上为零,而在内部非零.它的应用改善了普通杆件有限元法的收敛性,并使其适用于任何框架结构的屈曲分析.算例表明,泡函数有限元法对于框架结构的屈曲分析具有良好的适应性、稳定性、收敛性和求解效率,是一种进行大型结构屈曲分析的有效方法.关键词 泡函数有限元法,框架结构,柱计算长度,稳定分析,有限元法中图分类号 TU3 2 3.5 0 1文献标识码 A在结构稳定分析的普通有限元法中,以框架结构杆件的自然结点作为单元结点,所得到结果的精度往往不确定,时好时坏,有时甚至是谬误的.等截面理想轴心压杆杆长为L,在不同端部约束条件下的屈曲荷载精确解,以及相应的以杆件自然结点划分单元的普通有限元(F EM 1)和本文方法(B F EM)的计算结果,如表1所示.表中,符号“-”表示求解失效,下同;Vc r=表中数值*2E I/L2.从表1中结果可知,F EM 1的求解精度很不稳定,总体上来说,随着杆端约束程度的增加,误差()急剧增加.当杆件两端固表1 理想轴心压杆的屈曲荷载Vc r杆端支承条件一端自由一端固定两端铰支一端转动约束一端铰支一端转动约束一端固定一端铰支一端固定两端固定理论值1,20.2 5 01.0 0 00.2 5 01.0 0 02.0 4 64.0 0 0F EM 10.2 5 21.2 1 60.2 5 21.0 1 33.0 4 0-/(%)0.7 52 1.6 00.7 51.3 24 8.6 0-B F EM0.2 5 01.0 0 10.2 5 01.0 1 32.1 0 84.0 7 0/(%)00.1 001.3 23.0 31.7 6定时,方法失效,表明F EM 1在框架结构稳定分析中的计算结果不一定可用.由此可见,框架结构稳定有限元分析的精度不仅取决于结构的几何形式,还取决于构件结点的连接方式.图1 单元力与单元位移1 基本原理和单元刚度的建立3,4通常,杆系结构屈曲分析的普通有限元是建立在轴向线性位移和横向三次多项式位移模型基础之上的,是一种极小化单元模型.在单元内部补充内自由度并在横向位移模型上增加任意泡状函数项,就可构成泡函数有限单元位移模型.为此,取横向位移模型基函数系为1 x x2 x3 x4 x6.如图1所示,只考虑弯曲变形影响的泡函数单元的形函数矩阵N1 N2 N3 N4 N5,其中N1=(2+1)(-1)2,N2=L(-1)2,N3=-2(2-3),N4=L2(-1),N5=2(-1)2+3(-1)3(泡函数).,为任意常数,=x/L,L为杆单元几何长度.同普通有限元一样,应用虚功原理可得到单元的弯 收稿日期 2 0 0 5-0 8-1 9 作者简介 高轩能(1 9 6 2-),男,教授,博士,主要从事钢结构和组合结构的研究.E-m a i l:g a o x n h q u.e d u.c n 基金项目 华侨大学科研基金资助项目(0 3 B S 4 0 6);江西省教育厅科研基金资助项目(G J 2 0 0 4-1 2)曲刚度矩阵和几何刚度矩阵2,5.单元的位移函数为y=/&.其中,&=vi i vj j fi jT,则单元的外力功和应变能为Te=12&T0+V2.L0(y)2dx,We=E I2.L0(y)2dx.式中,V为轴心压力,0为单元力列阵,0=Y1 Y2 Y3 Y4 Y5T=1e&.将位移函数式代人外力功和应变能式,应用 Te=We,可得1e=E I.L0(/)T(/)dx-V.L0(/)T(/)dx=2e-3e.(1)上式中,2e=(ki j)=E I.L0N iN jdx,3e=(gi j)=V.L0N iN jdx.则其显式为2e=E IL31 26L-1 26L06L4L2-6L2L20-1 2-6L1 2-6L06L2L2-6L4L200000EFGHa,3e=V3 0L3 63L-3 63L03L4L2-3L-L2b-3 6-3L3 6-3L03L-L2-3L4L2-b0b0-EFGHbc.(2)在式(2)中,a=452-1 23 5+23 52,b=(-31 4)L,c=(4 42-2 2+32)/7 7.式(2)中,2e和3e中的前4行与前4列就是普通有限元的刚度矩阵,表明泡函数有限元只比普通有限元F EM 1增加少量的存储空间.此外,上述刚度矩阵中只给出了弯曲影响项,轴向力项通常在刚度矩阵2e中为E A/L,在3e中为0.要考虑轴向压缩变形影响时,可在矩阵行列的适当位置增加轴向力项.把局部坐标系下的单元刚度矩阵2e,3e转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵4e,+e后.同普通有限元一样,在结构的每个结点上建立平衡方程和位移协调条件,按“对号入座,同号相加”的原则,即可形成整体坐标系下的结构刚度矩阵4和几何刚度矩阵+.因此,得到结构的屈曲方程(推导单元刚度矩阵时,单元轴向力V以压为正)为|4-+|=0.其中,4为结构的弯曲刚度矩阵,+为结构的几何刚度矩阵.由此可将结构稳定问题最终化为标准特征值问题6,7,从而求出结构的屈曲荷载和相应的构件计算长度系数.2 和#的最佳取值及泡函数单元的性能由式(2)可知,用泡函数有限元法(B F EM)进行结构的稳定分析时,理论上,的取值可为任意常图2,取值与误差率曲线数,但它们取值的不同却导致求解的精度不同.也就是说,B F EM的求解精度决定于,的取值.经分析计算得到如下规律,对于同一结构计算模型,当取:=k(k为任意常数)的各组值时,B F EM得出的屈曲荷载值相同.例如,当取=-2,=5和=2,=-5时,B F EM所得的同一结构模型的屈曲荷载相同.因此,确定最佳,的值就变成先确定合适的k值,再据此确定最佳的,值.为此,可取若干组有代表性的,值,并绘出其对求解精度影响的曲线,如图2所示.由图2可知,k值越接近-1,B F EM的精度越高.当:=-1且=3,=-3时,精度最高,误差基本在3%以内.因此,本文取=3,=-3.此时,式(2)中的a=5 4/5,b=(a)柱脚铰接(b)柱脚刚接图3 无侧移单层框架5 1L/1 4,c=6 2 1/7 7,使刚度矩阵中的各元数值相近,不致产生病态矩阵.3 算例算例1 图3(a),(b)分别为柱脚铰接和刚接等截面无侧移单层框架,柱顶作用集中荷载V.采用本文方法(B F EM)和普通有限元法(F EM 1),对其在不同梁、柱线刚度比K1(K1=Iblc/Iclb)下框架柱的计算长度系数进行了计算,计算结果和精确解如表651华 侨 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2 0 0 6年2所示.由表2可知,F EM 1的计算结果误差()均较大.对于铰接柱脚框架,最大误差达到-1 8.0 6%;而对于刚接柱脚框架,则最小误差为-1 8.0 6%,并且随着柱端约束的增大,F EM 1计算结果的误差也越表2 柱脚铰接和刚接无侧移单层框架柱计算长度系数K100.21251 0精确解81.0 0 00.9 6 40.8 7 50.8 2 00.7 6 00.7 3 20.7 0 0柱脚F EM 10.9 0 70.8 6 60.7 6 50.7 0 20.6 3 50.6 0 60.5 7 4铰接/(%)-9.3 1 0-1 0.1 3 0-1 2.5 9 0-1 4.3 3 0-1 6.4 2 0-1 7.2 8 0-1 8.0 6 0B F EM1.0 0 00.9 6 30.8 7 40.8 1 90.7 5 60.7 2 60.6 8 9/(%)0.0 0 0-0.0 6 0-0.1 1 0-0.1 4 0-0.5 1 0-0.8 6 0-1.6 1 0精确解80.7 0 00.6 7 90.6 2 60.5 9 00.5 4 60.5 2 40.5 0 0柱脚F EM 10.5 7 40.5 4 70.4 6 80.4 0 60.3 0 70.2 3 4-刚接/(%)-1 8.0 6-1 9.4 6-2 5.1 9-3 1.2 6-4 3.8 5-5 5.3 1-B F EM0.6 8 90.6 7 00.6 1 80.5 8 30.5 4 20.5 2 10.4 9 6/(%)-1.6 1-1.3 9-1.2 7-1.1 3-0.8 1-0.6 0-0.8 7(a)柱脚刚接(b)柱脚铰接图4 无侧移双层框架大.当K1=时,F EM 1无法求解,表明F EM 1不适合求解此类问题.与此相反,本文方法(B F EM)对于上述框架的稳定分析结果不仅精度很好,而且不受柱端约束程度和柱脚连接方式的影响.算例2 图4(a),(b)分别为柱脚刚接和铰接等截面双层框架,柱顶作用集中荷载V.两种方法计算结果和精确解,如表3所示.表3的结果表明,框架结构增加层数后,B F EM和F EM 1的求解精度几乎未受影响.F EM 1的求解精度与框架柱端约束程度仍然成反比,与精确解相比,F EM 1的计算结果误差很大.对于柱脚刚接框架,最小误差达到-1 1.9 6%,已超过工程许可范围,结果不可用.由此可说明,结构的复杂程度并不是影响有限元法求解精度的主要因素,也即泡函数有限元法B F EM可以用来求解复杂结构的屈曲问题.表3 无侧移双层框架柱的计算长度系数K100.51251 0精确解80.8 7 90.8 0 30.7 5 30.6 8 90.6 0 80.5 6 10.5 0 0柱脚F EM 10.7 7 40.6 8 30.6 2 00.5 3 70.4 1 20.3 2 1-刚接/(%)-1 1.9 6 0-1 4.9 4 0-1 7.6 2 0-2 2.0 7 0-3 2.2 6 0-4 2.8 3 0-B F EM0.8 7 60.8 0 00.7 5 00.6 8 70.6 0 50.5 5 90.4 9 6/(%)-0.3 5 0-0.3 9 0-0.4 5 0-0.3 2 0-0.5 2 0-0.4 3 0-0.8 7 0精确解1.0 0 00.9 2 20.8 7 50.8 2 00.7 6 00.7 3 10.6 9 8柱脚F EM 10.9 0 70.8 1 90.7 6 50.7 0 20.6 3 50.6 0 60.5 7 4铰接/(%)-9.3 1-1 1.1 3-1 2.5 9-1 4.3 3-1 6.4 2-1 7.1 6-1 7.8 3B F EM1.0 0 00.9 2 20.8 7 40.8 1 90.7 5 60.7 2 60.6 8 9/(%)0.0 00.0 0-0.1 1-0.1 4-0.5 1-0.7 2-1.3 3表4 三跨五层框架的屈曲荷载Vc r柱脚约束柱脚刚接柱脚铰接精确解2.4 4 41.5 4 1F EM 13.8 4 32.1 0 5/(%)5 7.2 4 03 6.6 0 0B F EM2.4 6 81.5 4 9/(%)0.9 8 00.5 2 0 原书数值有误,已按原书方法改正算例3 图5(a),(b)所示为柱脚刚接和铰接的三跨五层等截面无侧移框架结构,梁、柱的弯曲刚度皆为E I,梁的长度与柱的高度分别为Lb和Lc,且Lb/Lc=4/3.两种方法解计算结果以及精确解,如表4所示.表中,Vc r=表中数值E I/L2c.从表中结果可看出,对于柱脚刚接和铰接的多层多跨框架,每杆取为一个单元751第2期 高轩能等:框架结构稳定分析的泡函数有限元法(a)柱脚刚接(b)柱脚铰接图5 三跨五层框架的普通杆件有限元F EM 1的计算结果与精确解相比,误差分别达到5 7.2 4%和3 6.6 0%,计算结果同样不可用.B F EM的计算结果精度相当高,与精确解相比,对柱脚铰接和刚接框架的计算误差分别为0.5 2%和0.9 8%,表明泡函数有限元法B F EM的适应性、稳定性、计算精度和收敛性均很高.事实上,经作者计算,B F EM同样适用于有侧移框架的屈曲分析,并且能够获得比无侧移框架更好的精度.4 结束语以上算例包括从单层单跨框架到多层多跨框架结构,均有可比较的精确解.算例计算结果表明,泡函数有限元法对于框架结构的屈曲分析不仅有效,而且具有良好的适应性、稳定性和收敛性.文中提出的结构稳定分析的泡函数有限单元法,几何和物理概念明确,单元刚度矩阵简洁,适用于任何框架结构的稳定分析.它克服了普通有限元求解无侧移框架误差大的缺点,高阶多项式泡函数的应用大大减少了结构稳定分析的自由度数,改善了普通有限元的收敛性、稳定性、适应性和求解效率,对大型结构效果尤其明显.参 考 文 献1 夏志斌,潘有昌.结构稳定理论M.北京:高等教育出版社,1 9 8 8.2 42 C h a j e sA.P r i n c i p l e so f s t r u c t u r a l s t a b i l i t yt h e o r yM.N e wY o r k:P r e n t i c e-H a l l I n c,1 9 7 4.81 4,1 3 31 3 73 高轩能,万志英,邹银生,等.杆系结构稳定分析的泡函数有限元法J.南昌大学学报(工科版),1 9 9 8,2 0(2):154 刘文国,任文敏,张 维.用复合有限条-气泡函数法研究加肋壳体稳定性J.清华大学学报(自然科学版),1 9 9 9,3 9(1 1):6 16 45 W e a v e rW,J o h n s t o nPR.F i n i t e e l e m e n t s f o r s t r u c t u r a l a n a l y s i sM.N e wY o r k:P r e n t i c e-H a l l I n c,1 9 8 4.3 1 53 1 86 唐家祥,王仕统,裴若娟.结构稳定理论M.北京:中国铁道出版社,1 9 8 9.3 9 94 0 17 徐次达,华伯浩.固体力学有限元理论方法及程序M.北京:水利水电出版社,1 9 8 3.4 4 04 5 18 陈 骥.钢结构稳定理论与设计M.第2版.北京:科学出版社,2 0 0 3.1 3 4,1 3 6B u c k l i n gA n a l y s i so fF r a m eS t r u c t u r e su s i n gB u b b l e-F u n c t i o nF EMG a oX u a n n e n g W a n gR e n h u i(C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,H u a q i a oU n i v e r s i t y,3 6 2 0 2 1,Q u a n z h o u,C h i n a)A b s t r a c t T h i sp a p e r a t t e m p t s t o f i n da ne f f e c t i v e a p p r o a c hw h i c h i s a s c o n c i s e a s t h e c o n v e n t i o n a l b a rF EM,a n dc a nd e-t e r m i n et h ec r i t i c a l l o a d so f a l l k i n d so f f r a m e s t r u c t u r e s a l s o.A c c o r d i n g t o t h e c h a r a c t e r i s t i c so f t h eb a rb u c k l i n gd e f o r m-a t i o na n dt h eb u b b l e-f u n c t i o n s t h e m s e l v e s,an e wb a s i s f u n c t i o ns e r i e sw i t hb u b b l e-f u n c t i o n s i s t a k e na s t h e s h a p e f u n c t i o no f ab a re l e m e n t,t h e nab u b b l e-f u n c t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d(B F EM)i sd e v e l o p e d.B u b b l e-f u n c t i o ni sak i n do fF EMm o d e l,w h i c hi sd e f i n e dw i t h i nas i n g l ee l e m e n t a n d i sz e r oo nb o u n d a r i e so f t h ee l e m e n t,b u tn o n z e r o i n s i d e.T h eu s eo fb u b b l e-f u n c t i o n ss i g n i f i c a n t l y i m p r o v e s t h e c o n v e r g e n c eo f f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s,a n d t h eB F EMi s a d a p t a b l e t o t h eb u c k-l i n ga n a l y s i so f a l l k i n d so f f r a m e s t r u c t u r e s.N u m e r i c a l r e s u l t s s h o wt h a t t h eB F EMi sv e r ys u i t a b l e,c o n v e r g e n t a n de f f i-c i e n t f o rs t a b i l i t ya n a l y s i so f s t r u c t u r e s,e s p e c i a l l y i sav a l i dm e t h o df o rb u c k l i n ga n a l y s i so f t h e l a r g es t r u c t u r e s.K e y w o r d s f r a m es t r u c t u r e s,e f f e c t i v e l e n g t ho f c o l u m n,b u c k l i n ga n a l y s i s,F EM,B F EM851华 侨 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2 0 0 6年