函数的单调性与导数小测.doc

2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A.b2-4ac0 B.b0，c0C.b=0，c0 D.b2-3ac0，f(x)为增函数，f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立，=(2b)2-43ac=4b2-12ac0，b2-3ac0，解得x2，故选D.3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为()A.-1，+) B.(-，2C.(-，-1)和(1,2) D.2，+)答案B解析令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-，2.4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是()答案C解析当0f(x)1时xf(x)0，f(x)0，故y=f(x)在(1，+)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5.函数y=xsinx+cosx，x(-，)的单调增区间是()A.-，-2和0，2B.-2，0和0，2C.-，-2和2，D.-2，0和2，答案A解析y=xcosx，当-cosx0，当00，y=xcosx0.6.下列命题成立的是()A.若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B.若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C.若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D.若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数答案B解析若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错;f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错;f(x)=2在(a，b)上的导数为f(x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.7.(2007福建理，11)已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0 D.f(x)0，g(x)0答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0，g(x)0，f(x)0，f(x)-f(x)x，即f(x)在(0，+)上是减函数，又09.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f(x)0，则必有()A.f(0)+f(2)2f(1)答案C解析由(x-1)f(x)0得f(x)在1，+)上单调递增，在(-，1上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)+f(2)2f(1).故应选C.10.(2010江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S(t)的图像大致为()答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为_.答案b2解析若y=x2+2bx+b+20恒成立，则=4b2-4(b+2)0，-1b2，由题意b2.12.已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)1在区间(1，+)内恒成立，实数a的取值范围为_.答案a1解析由已知a1+lnxx在区间(1，+)内恒成立.设g(x)=1+lnxx，则g(x)=-lnxx21)，g(x)=1+lnxx在区间(1，+)内单调递减，g(x)g(1)=1，1+lnxx1在区间(1，+)内恒成立，a1.13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为_.答案(-，-1)解析函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2，+)(-，-1)，令f(x)=x2-x-2，f(x)=2x-10，得x12，函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-，-1).14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_.答案3，+)解析y=3x2-2ax，由题意知3x2-2ax32x在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)求导得f(x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11)，所以f(1)=-11，f(1)=-12，即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12，解得a=1，b=-3.(2)由a=1，b=-3得f(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).令f(x)0，解得x3;又令f(x)0，f(x)在(-，+)上是单调递增函数.而当x=0时，f(x)=0，方程x-12sinx=0有唯一的根x=0.17.已知函数y=ax与y=-bx在(0，+)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析可先由函数y=ax与y=-bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.解析函数y=ax与y=-bx在(0，+)上都是减函数，a0，b0，得3ax2+2bx0，-2b3a当x-2b3a，0时，函数为增函数.令y0，即3ax2+2bx0，x0.在-，-2b3a，(0，+)上时，函数为减函数.18.(2010新课标全国文，21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12，求f(x)的单调区间;(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围.解析(1)a=12时，f(x)=x(ex-1)-12x2，f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).当x(-，-1)时，f(x)0;当x(-1,0)时，f(x)0.故f(x)在(-，-1，0，+)上单调递增，在-1,0上单调递减.(2)f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax，则g(x)=ex-a.若a1，则当x(0，+)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(-，1.