函数的单调性与导数小测.doc

2-21.3.1函数的单调性与导数
一、选择题
1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(　　)
A.b2-4ac>0　　　　　　 B.b>0，c>0
C.b=0，c>0 D.b2-3ac<0
[答案]　D
[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立，
∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0，∴b2-3ac<0.
2.(2009•广东文，8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)
A.(-∞，2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2，+∞)
[答案]　D
[解析]　考查导数的简单应用.
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A.[-1，+∞) B.(-∞，2]
C.(-∞，-1)和(1,2) D.[2，+∞)
[答案]　B
[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞，2].
4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是(　　)
[答案]　C
[解析]　当0
∴f′(x)<0，故y=f(x)在(0,1)上为减函数
当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y=f(x)在(1，+∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
5.函数y=xsinx+cosx，x∈(-π，π)的单调增区间是(　　)
A.-π，-π2和0，π2
B.-π2，0和0，π2
C.-π，-π2和π2，π
D.-π2，0和π2，π
[答案]　A
[解析]　y′=xcosx，当-π
cosx<0，∴y′=xcosx>0，
当00，∴y′=xcosx>0.
6.下列命题成立的是(　　)
A.若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B.若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C.若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在
D.若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
[答案]　B
[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错;f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错;f(x)=2在(a，b)上的导数为f′(x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.
7.(2007•福建理，11)已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)
A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0
[答案]　B
[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
8.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若a
A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)
C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)
[答案]　C
[解析]　∵xf′(x)+f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，
∴f′(x)≤-f(x)x，即f(x)在(0，+∞)上是减函数，
又0
9.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
[答案]　C
[解析]　由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1，+∞)上单调递增，在(-∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，
故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.
10.(2010•江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S′(t)的图像大致为
(　　)
[答案]　A
[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
二、填空题
11.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为________.
[答案]　b<-1或b>2
[解析]　若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立，则Δ=4b2-4(b+2)≤0，∴-1≤b≤2，
由题意b<-1或b>2.
12.已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，实数a的取值范围为________.
[答案]　a≥1
[解析]　由已知a>1+lnxx在区间(1，+∞)内恒成立.
设g(x)=1+lnxx，则g′(x)=-lnxx2<0　(x>1)，
∴g(x)=1+lnxx在区间(1，+∞)内单调递减，
∴g(x)
∵g(1)=1，
∴1+lnxx<1在区间(1，+∞)内恒成立，
∴a≥1.
13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.
[答案]　(-∞，-1)
[解析]　函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2，+∞)∪(-∞，-1)，
令f(x)=x2-x-2，f′(x)=2x-1<0，得x<12，
∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞，-1).
14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________.
[答案]　[3，+∞)
[解析]　y′=3x2-2ax，由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立，
即a>32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).
(1)求a、b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
[解析]　(1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.
由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11)，所以f(1)=-11，f′(1)=-12，
即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12，
解得a=1，b=-3.
(2)由a=1，b=-3得
f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>0，解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0，解得-1
所以当x∈(-∞，-1)时，f(x)是增函数;
当x∈(3，+∞)时，f(x)也是增函数;
当x∈(-1,3)时，f(x)是减函数.
16.求证：方程x-12sinx=0只有一个根x=0.
[证明]　设f(x)=x-12sinx，x∈(-∞，+∞)，
则f′(x)=1-12cosx>0，
∴f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增函数.
而当x=0时，f(x)=0，
∴方程x-12sinx=0有唯一的根x=0.
17.已知函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
[分析]　可先由函数y=ax与y=-bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.
[解析]　∵函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0.
由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.
令y′>0，得3ax2+2bx>0，∴-2b3a
∴当x∈-2b3a，0时，函数为增函数.
令y′<0，即3ax2+2bx<0，
∴x<-2b3a，或x>0.
∴在-∞，-2b3a，(0，+∞)上时，函数为减函数.
18.(2010•新课标全国文，21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=12，求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
[解析]　(1)a=12时，f(x)=x(ex-1)-12x2，
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0;当x∈(-1,0)时，f′(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(-∞，-1]，[0，+∞)上单调递增，在[-1,0]上单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.
若a≤1，则当x∈(0，+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.
综合得a的取值范围为(-∞，1].