导数与函数的单调性练习题.doc

(完整word)导数与函数的单调性练习题
2。2。1导数与函数的单调性
基础巩固题：
1。函数f（x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ）
A。0〈a〈 B.a〈—1或a〉 C.a> D。a〉—2
答案:C 解析：∵f(x）=a+在（-2，+∞)递增，∴1-2a〈0,即a>。
2．已知函数f（x）＝x2＋2x＋alnx,若函数f（x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a〉0或a〈－4
答案：C解析：∵f′(x）＝2x＋2＋，f(x）在（0，1）上单调， ∴f′（x）≥0或f′(x)≤0在（0,1)上恒成立,即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1）上恒成立， 所以a≥－（2x2＋2x)或a≤－（2x2＋2x）在(0，1）上恒成立．记g（x）＝－(2x2＋2x），0〈x<1，可知－4<g（x)〈0， ∴a≥0或a≤－4，故选C。
3．函数f(x）＝x＋的单调区间为________．
答案:(－3,0），（0，3） 解析：f′（x）＝1－＝，令f′(x)<0，解得－3〈x〈0或0<x〈3，故单调减区间为（－3，0）和（0,3)．
4 函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________
答案: ； 解析：
5．确定下列函数的单调区间：（1)y=x3－9x2+24x (2）y=3x－x3
（1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3（x－2）（x－4）
令3(x－2)(x－4）＞0，解得x＞4或x＜2。
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是（4，+∞)和（－∞，2）
令3（x－2)(x－4）＜0,解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是（2，4）
（2)解：y′=(3x－x3）′=3－3x2=－3（x2－1）=－3（x+1）(x－1)
令－3(x+1）(x－1）＞0，解得－1＜x＜1。
∴y=3x－x3的单调增区间是（－1，1)。
令－3（x+1）（x－1）＜0，解得x＞1或x＜－1。
∴y=3x－x3的单调减区间是（－∞，－1）和(1，+∞)
6．函数y＝ln(x2－x－2）的单调递减区间为__________．
［答案］　（－∞,－1) [解析］　函数y＝ln（x2－x－2)的定义域为(2，＋∞）∪(－∞,－1),令f（x）＝x2－x－2，f′(x）＝2x－1〈0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为（－∞，－1）
7．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
[答案]　b〈－1或b〉2 [解析］　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4（b＋2)≤0,∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.
8.已知x∈R,求证：ex≥x+1．
证明:设f（x）=ex－x－1，则f′(x）=ex－1．
∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．
当x＞0时,f′（x）＞0,∴f（x）在(0，+∞）上是增函数．∴f（x)＞f(0)=0．
当x＜0时,f′（x）＜0，f（x）在（－∞,0）上是减函数,∴f（x）＞f（0）=0．
9．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解:y′=（x+）′=1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞）.令＜0,解得－1＜x＜0或0＜x＜1。 ∴y=x+的单调减区间是（－1,0）和(0，1）
10．已知函数的图象过点P（0,2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f（x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x)的单调区间．
解：（Ⅰ）由f（x）的图象经过P(0，2），知d=2，
所以
由在M（-1,f（—1））处的切线方程是, 知

故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当
故内是增函数,在内是减函数，在内是增函数．
点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
11。已知函数f（x）=x3-x2+bx+c.（1）若f（x)在（—∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;
解 (1）=3x2—x+b，因f（x)在(-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0，
∴b≥x-3x2在（-∞,+∞)恒成立。设g（x）=x-3x2.当x=时，g（x）max=,∴b≥。
12.已知函数f(x）=x（x—1）(x-a)在（2，+∞）上是增函数,试确定实数a的取值范围.
解 f（x)=x(x-1）(x—a）=x3—（a+1）x2+ax∴=3x2-2（a+1)x+a要使函数f（x)=x(x—1)(x-a)在（2，+∞)上是增函数，只需=3x2—2（a+1)x+a在（2，+∞)上满足≥0即可。 ∵=3x2-2（a+1)x+a的对称轴是x=,
∴a的取值应满足：或解得:a≤。∴a的取值范围是a≤.
13．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：,因为在区间上是增函数,所以对恒成立，即对恒成立,解之得:
所以实数的取值范围为．
点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则"来求解,注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
14.已知函数的图象过点P(0，2），且在点M（－1,）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。
解：(1）由的图象经过P(0，2），知，所以，
由在点M（）处的切线方程为
∴ 即 ∴ 解得
故所求的解析式是
（2) 令，解得
当或时，
当时，
故在内是增函数,在内是减函数
在内是增函数
点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
15．已知函数f(x）＝，求导函数f ′(x),并确定f（x）的单调区间．
解析:f ′（x)＝＝
＝－
令f ′(x）＝0,得x＝b－1且x≠1。
当b－1＜1，即b＜2时，f ′（x)的变化情况如下表：
x
（－∞，b－1)
b－1
(b－1,1)
（1，＋∞）
f ′(x)
－
0
＋
－
当b－1＞1，即b＞2时，f ′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞,1)
（1，b－1）
b－1
(b－1,＋∞)
f ′（x）
－
＋
0
－
所以,当b＜2时,函数f（x)在（－∞，b－1)上单调递减,在（b－1,1）上单调递增,在(1，＋∞)上单调递减．
当b＞2时，函数f（x)在(－∞，1)上单调递减，在（1，b－1）上单调递增,在(b－1，＋∞）上单调递减．
当b－1＝1，即b＝2时，f（x)＝,所以函数f（x）在(－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞)上单调递减．
强化提高题：
16．设f（x)、g（x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x）分别为f(x）、g(x)的导函数，且满足f′(x）g（x）＋f(x)g′(x)<0，则当a<x〈b时，有（　　)
A．f(x)g(b)〉f(b)g（x） B．f（x)g(a)〉f(a）g（x）
C．f（x）g（x)>f(b）g(b） D．f(x）g(x）〉f(b）g(a）
答案：C解析：令y＝f（x)·g（x），则y′＝f′（x)·g（x）＋f(x)·g′（x)，由于f′（x)g(x）＋f（x）g′(x）〈0，所以y在R上单调递减，又x<b，故f（x）g(x)〉f（b）g(b）．
17．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2）内单调递减,则实数a的取值范围是____________．
[答案]　[3，＋∞)[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2）内恒成立，
即a〉x在区间(0，2)上恒成立,∴a≥3.
18．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x）＞1在区间（1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．
［答案]　a≥1［解析］　由已知a＞在区间（1，＋∞）内恒成立．
设g（x)＝，则g′(x)＝－＜0　(x＞1），∴g(x）＝在区间(1,＋∞)内单调递减,∴g(x）＜g(1)， ∵g（1）＝1, ∴＜1在区间（1，＋∞）内恒成立， ∴a≥1.
19．函数y＝x2e－x的单调递增区间是________．
答案：(0，2)解析：y′＝（2x－x2)e－x＞0⇔0＜x＜2，故选填（0,2）．
20 若在增函数，则的关系式为是_______________
答案： 解析: 恒成立,则
21．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
答案:b〉0 解析: y′=－4x2+b，若y′值有正、有负,则b>0．
22.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］（a〉b>0）上是减函数且f(—b)>0，判断F(x）=[f（x)］2在［b,a]上的单调性并证明你的结论。
解析：设b≤x1〈x2≤a，则
—b≥—x1>—x2≥—a.
∵f(x）在［-a，-b]上是减函数,∴0〈f(—b)≤f(-x1)〈f(-x2)≤f（—a)，∵f(x)是奇函数，∴0〈—f（x1）<-f(x2）,
则f(x2)<f(x1）〈0，［f(x1)］2<［f(x2）］2，即F(x1）<F(x2).
∴F（x)在［b,a]上为增函数。
23．设函数f(x）＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1,－11）．
(1）求a、b的值;（2)讨论函数f(x）的单调性．
[解析]　(1)求导得f′（x）＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11)，所以f（1)＝－11，f′(1)＝－12,
即,解得a＝1,b＝－3。
(2）由a＝1，b＝－3 得f′（x）＝3x2－6ax＋3b＝3（x2－2x－3）＝3(x＋1)（x－3)．
令f′（x)〉0，解得x<－1或x〉3；又令f′(x）<0，解得－1〈x〈3.所以当x∈（－∞，－1)时，f（x)是增函数；
当x∈(3,＋∞）时，f(x）也是增函数；当x∈(－1，3）时，f(x)是减函数．
24．若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．
解：，
令得或,
∴当时，,当时，，
∴，∴．

25。设函数f(x)=x+（a〉0）。（1）求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在［a-2,+∞]上递增，求a的取值范围.
解析：（1）f(x)在（0,+∞）上的增区间为［,+∞]，减区间为（0，）.
证明：∵f′(x)=1—,当x∈［,+∞］时,
∴f′（x)>0，当x∈（0，）时，f′(x）<0。
即f（x)在［+∞］上单调递增，在（0，）上单调递减。（或者用定义证）
（2）［a—2，+∞］为［,+∞］的子区间，所以a-2≥a—-2≥0(+1)（ -2)≥0-2≥0a≥4。
26．已知函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数,试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
解析：　可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
［解］　∵函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，∴a＜0，b＜0。
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx。
令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0,∴－＜x＜0。
∴当x∈时，函数为增函数．
令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，
∴x＜－，或x＞0。
∴在，（0，＋∞）上时，函数为减函数．
27 设是R上的偶函数，(1）求的值;（2）证明在（0,+）上是增函数。
解：（1）依题意，对一切，有，即
即，所以对一切恒成立
由于不恒为0，所以,即，又因为，所以
（2)证明:由，得
当时，有，此时 ，所以在（0，+）内是增函数
28．求证:方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.
[证明］　设f(x）＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞),
则f′（x）＝1－cosx＞0，
∴f（x)在（－∞，＋∞)上是单调递增函数．
而当x＝0时，f（x）＝0，
∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.
29已知f（x）=x2+c，且f［f(x)］=f（x2+1）
(1)设g（x）=f［f（x）]，求g（x)的解析式;
(2)设φ(x）=g(x）－λf(x），试问:是否存在实数λ,使φ(x）在(－∞,－1)内为减函数，且在
(－1，0）内是增函数。
解:（1)由题意得f［f(x）］=f（x2+c)=(x2+c）2+c
f(x2+1）=（x2+1)2+c,∵f［f(x）］=f(x2+1)
∴(x2+c）2+c=（x2+1）2+c，
∴x2+c=x2+1，∴c=1
∴f（x)=x2+1,g（x)=f［f（x）］=f（x2+1)=(x2+1）2+1
(2）φ(x）=g（x)－λf（x）=x4+（2－λ）x2+(2－λ）
若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x3+2(2－λ）x
∵函数φ（x)在(－∞,－1)上是减函数，
∴当x＜－1时，φ′（x)＜0
即4x3+2(2－λ)x＜0对于x∈（－∞，－1)恒成立
∴2（2－λ）＞－4x2,
∵x＜－1，∴－4x2＜－4
∴2（2－λ)≥－4,解得λ≤4
又函数φ（x）在（－1，0)上是增函数
∴当－1＜x＜0时，φ′（x）＞0
即4x2+2（2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立
∴2（2－λ）＜－4x2，
∵－1＜x＜0，∴－4＜4x2＜0
∴2（2－λ）≤－4，解得λ≥4
故当λ=4时，φ（x)在(－∞，－1)上是减函数,在(－1,0）上是增函数,即满足条件的λ存在.
课外延伸题:
30．方程x3－3x+c=0在［0，1]上至多有_______个实数根
答案：1 解析．设f（x)=x3－3x+c，则（x)=3x2－3=3（x2－1)．
当x∈（0，1）时,（x)〈0恒成立．
∴f（x）在（0,1）上单调递减．
∴f（x)的图象与x轴最多有一个交点．
因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．
31．若函数f（x）＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案:－2〈a<2 解析：f′（x）＝3x2－3＝3(x＋1）(x－1）．
令f′（x）＝0,得x＝－1或x＝1。
∴f(x)在(－∞，－1)和（1，＋∞）上递增，在(－1，1）上递减，
∴,∴－2〈a〈2。
32。（2010湖北黄冈中学模拟,19）已知定义域为[0，1］的函数f（x)同时满足：①对于任意的x∈［0,1］,总有f（x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f（x1+x2）≥f（x1)+f（x2）.(1)求f（0)的值；(2）求f(x)的最大值。
解析：（1)对于条件③,令x1=x2=0得f（0）≤0，又由条件①知f（0)≥0，故f（0)=0.
（2）设0≤x1〈x2≤1,则x2—x1∈(0，1),
∴f（x2)—f(x1）=f［（x2—x1)+x1]—f(x1）=f(x2—x1）+f(x1)—f(x1）=f（x2—x1）≥0.
即f（x2)≥f(x1），故f（x）在［0,1］上是单调递增，从而f(x)的最大值是f（1）=1。
33。已知函数f（x）=（-1)2+(-1）2的定义域为[m,n)且1≤m〈n≤2。（1)讨论函数f（x)的单调性；
（2）证明:对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f(x2）|<1恒成立.
(1)解析：解法一:∵f（x）=(—1）2+(—1)2=+2,
∴
f′(x）=·(x4—m2n2—mx3+m2nx）=（x2-mx+mn）(x+)(x-).
∵1≤m≤x<n≤2，∴〉0，x2-mx+mn=x（x-m)+mn〉0，x+>0.
令f′(x）=0,得x=，
①当x∈［m，］时,f′(x)<0；
②当x∈[，n］时，f′（x）>0.
∴f（x）在［m,］内为减函数,在［，n)为内增函数。
解法二：由题设可得
f（x)=（—1）2—+1。
令t=.
∵1≤m<n≤2,且x∈［m，n］,
∴t=≥2，>2.
令t′==0,得x=.
当x∈［m，］,t′<0；当x∈（,n）时,t′〉0。∴t=在［m，］内是减函数，在［，n］内是增函数.∵函数y=（t-1）2-+1在［1，+∞]上是增函数,∴函数f(x)在［m, ］内是减函数,在［，n]内是增函数.
（2）证明：由（1）可知,f(x）在［m，n］上的最小值为f（)=2(-1)2，最大值为f(m）=（-1)2.
对任意x1、x2∈［m，n］,｜f（x1）-f(x2)|≤(-1）2-2(-1）2=（）2—4·+4—1.令u=，h(u）=u4—4u2+4u—1.
∵1≤m<n≤2,∴1〈≤2，即1〈u≤。∵h′(u）=4u3—8u+4=4(u-1)（u-）（u+)>0,
∴h(u）在(1，)上是增函数.∴h（u)≤h()=4—8+4—1=4-5<1.
∴不等式|f(x1）—f（x2)｜〈1恒成立.

高考链接题：
34．(2009·广东文,8)函数f（x)＝(x－3)ex的单调递增区间是（　　）
A．(－∞，2) B．（0，3) C．(1,4) D．（2，＋∞)
［答案］　D ［解析］　考查导数的简单应用．
f′(x）＝（x－3）′ex＋（x－3)(ex)′＝（x－2)ex,令f′（x）〉0，解得x〉2，故选D。
35．（2010·新课标全国文)设函数f（x）＝x(ex－1）－ax2。
(1)若a＝,求f(x)的单调区间；
（2）若当x≥0时f(x）≥0，求a的取值范围．
[解析］　（1)a＝时，f（x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)（x＋1）．
当x∈（－∞,－1）时,f′（x）〉0;当x∈（－1，0)时,f′（x）<0；当x∈(0，＋∞）时，f′(x)>0。
故f（x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增,在［－1，0]上单调递减．
（2)f(x)＝x（ex－1－ax）．
令g（x)＝ex－1－ax，则g′（x）＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′（x）〉0,g（x)为增函数，而g（0)＝0，从而当x≥0时g（x)≥0,即f（x）≥0。
当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0,g（x)为减函数,而g(0)＝0，从而当x∈（0,lna)时g(x)<0，即f（x）〈0。
综合得a的取值范围为（－∞,1］．
36.（2009江西)设函数
（1） 求函数的单调区间；
（2） 若，求不等式的解集．
解： (1) , 由，得
因为 当时,； 当时，； 当时，；
所以的单调增区间是:; 单调减区间是: .
(2) 由 ,
得：.
故：当 时, 解集是:;
当 时，解集是： ；
当 时, 解集是：