导数与函数的单调性练习题.doc

(完整word)导数与函数的单调性练习题2。2。1导数与函数的单调性基础巩固题：1。函数f（x)=在区间（-2，+）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ）A。0a B.a1或a C.a D。a2答案:C 解析：f(x）=a+在（-2，+)递增，1-2a0,即a。2已知函数f（x）x22xalnx,若函数f（x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是（）Aa0 Ba4 Ca0或a4 Da0或a4答案：C解析：f(x）2x2，f(x）在（0，1）上单调， f（x）0或f(x)0在（0,1)上恒成立,即2x22xa0或2x22xa0在(0,1）上恒成立， 所以a（2x22x)或a（2x22x）在(0，1）上恒成立记g（x）(2x22x），0x1，可知4g（x)0， a0或a4，故选C。3函数f(x）x的单调区间为_答案:(3,0），（0，3） 解析：f（x）1，令f(x)0，解得3x0或0x3，故单调减区间为（3，0）和（0,3)4 函数的单调增区间为 ，单调减区间为_ 答案: ； 解析： 5确定下列函数的单调区间：（1)y=x39x2+24x (2）y=3xx3（1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3（x2）（x4）令3(x2)(x4）0，解得x4或x2。y=x39x2+24x的单调增区间是（4，+)和（，2）令3（x2)(x4）0,解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是（2，4）（2)解：y=(3xx3）=33x2=3（x21）=3（x+1）(x1)令3(x+1）(x1）0，解得1x1。y=3xx3的单调增区间是（1，1)。令3（x+1）（x1）0，解得x1或x1。y=3xx3的单调减区间是（，1）和(1，+)6函数yln(x2x2）的单调递减区间为_答案（,1) 解析函数yln（x2x2)的定义域为(2，）(,1),令f（x）x2x2，f(x）2x10，得x，函数yln(x2x2)的单调减区间为（，1）7已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的范围为_答案b1或b2 解析若yx22bxb20恒成立，则4b24（b2)0,1b2，由题意b1或b2.8.已知xR,求证：exx+1证明:设f（x）=exx1，则f(x）=ex1当x=0时，f（x）=0,f（x）=0当x0时,f（x）0,f（x）在(0，+）上是增函数f（x)f(0)=0当x0时,f（x）0，f（x）在（,0）上是减函数,f（x）f（0）=09已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解:y=（x+）=11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间;是(，1)和(1，+）.令0,解得1x0或0x1。 y=x+的单调减区间是（1,0）和(0，1）10已知函数的图象过点P（0,2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数y=f（x)的解析式；（）求函数y=f（x)的单调区间解：（）由f（x）的图象经过P(0，2），知d=2，所以 由在M（-1,f（1）处的切线方程是, 知故所求的解析式是 （） 解得 当当故内是增函数,在内是减函数，在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力11。已知函数f（x）=x3-x2+bx+c.（1）若f（x)在（，+）上是增函数，求b的取值范围;解 (1）=3x2x+b，因f（x)在(-，+）上是增函数，则0.即3x2-x+b0，bx-3x2在（-,+)恒成立。设g（x）=x-3x2.当x=时，g（x）max=,b。12.已知函数f(x）=x（x1）(x-a)在（2，+）上是增函数,试确定实数a的取值范围.解 f（x)=x(x-1）(xa）=x3（a+1）x2+ax=3x2-2（a+1)x+a要使函数f（x)=x(x1)(x-a)在（2，+)上是增函数，只需=3x22（a+1)x+a在（2，+)上满足0即可。 =3x2-2（a+1)x+a的对称轴是x=,a的取值应满足：或解得:a。a的取值范围是a.13已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围解：,因为在区间上是增函数,所以对恒成立，即对恒成立,解之得:所以实数的取值范围为点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则来求解,注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解14.已知函数的图象过点P(0，2），且在点M（1,）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。解：(1）由的图象经过P(0，2），知，所以， 由在点M（）处的切线方程为 即 解得故所求的解析式是（2) 令，解得当或时，当时，故在内是增函数,在内是减函数在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力15已知函数f(x），求导函数f (x),并确定f（x）的单调区间解析:f （x)令f (x）0,得xb1且x1。当b11，即b2时，f （x)的变化情况如下表：x（，b1)b1(b1,1)（1，）f (x)0当b11，即b2时，f (x)的变化情况如下表：x(,1)（1，b1）b1(b1,)f （x）0所以,当b2时,函数f（x)在（，b1)上单调递减,在（b1,1）上单调递增,在(1，)上单调递减当b2时，函数f（x)在(，1)上单调递减，在（1，b1）上单调递增,在(b1，）上单调递减当b11，即b2时，f（x),所以函数f（x）在(，1）上单调递减，在（1，)上单调递减强化提高题：16设f（x)、g（x)是R上的可导函数，f(x)，g(x）分别为f(x）、g(x)的导函数，且满足f(x）g（x）f(x)g(x)0，则当af(b）g(b） Df(x）g(x）f(b）g(a）答案：C解析：令yf（x)g（x），则yf（x)g（x）f(x)g（x)，由于f（x)g(x）f（x）g(x）0，所以y在R上单调递减，又xb，故f（x）g(x)f（b）g(b）17若函数yx3ax24在(0,2）内单调递减,则实数a的取值范围是_答案3，)解析y3x22ax，由题意知3x22ax022.定义在R上的奇函数f(x)在-a,-b（ab0）上是减函数且f(b)0，判断F(x）=f（x)2在b,a上的单调性并证明你的结论。解析：设bx1x2a，则bx1x2a.f(x）在-a，-b上是减函数,0f(b)f(-x1)f(-x2)f（a)，f(x)是奇函数，0f（x1）-f(x2）,则f(x2)f(x1）0，f(x1)2f(x2）2，即F(x1）F(x2).F（x)在b,a上为增函数。23设函数f(x）x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点（1,11）(1）求a、b的值;（2)讨论函数f(x）的单调性解析(1)求导得f（x）3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点（1，11)，所以f（1)11，f(1)12,即,解得a1,b3。(2）由a1，b3 得f（x）3x26ax3b3（x22x3）3(x1)（x3)令f（x)0，解得x1或x3；又令f(x）0，当x（0，）时，f(x）0。即f（x)在+上单调递增，在（0，）上单调递减。（或者用定义证）（2）a2，+为,+的子区间，所以a-2a-20(+1)（ -2)0-20a4。26已知函数yax与y在（0，）上都是减函数,试确定函数yax3bx25的单调区间解析：可先由函数yax与y的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定yax3bx25的单调区间解函数yax与y在（0，）上都是减函数，a0，b0。由yax3bx25得y3ax22bx。令y0，得3ax22bx0,x0。当x时，函数为增函数令y0，即3ax22bx0，x，或x0。在，（0，）上时，函数为减函数27 设是R上的偶函数，(1）求的值;（2）证明在（0,+）上是增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即即，所以对一切恒成立由于不恒为0，所以,即，又因为，所以（2)证明:由，得当时，有，此时 ，所以在（0，+）内是增函数28求证:方程xsinx0只有一个根x0.证明设f(x）xsinx，x(，),则f（x）1cosx0，f（x)在（，)上是单调递增函数而当x0时，f（x）0，方程xsinx0有唯一的根x0.29已知f（x）=x2+c，且ff(x)=f（x2+1）(1)设g（x）=ff（x），求g（x)的解析式;(2)设(x）=g(x）f(x），试问:是否存在实数,使(x）在(,1)内为减函数，且在(1，0）内是增函数。解:（1)由题意得ff(x）=f（x2+c)=(x2+c）2+cf(x2+1）=（x2+1)2+c,ff(x）=f(x2+1)(x2+c）2+c=（x2+1）2+c，x2+c=x2+1，c=1f（x)=x2+1,g（x)=ff（x）=f（x2+1)=(x2+1）2+1(2）(x）=g（x)f（x）=x4+（2）x2+(2）若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2）x函数（x)在(,1)上是减函数，当x1时，（x)0即4x3+2(2)x0对于x（，1)恒成立2（2）4x2,x1，4x242（2)4,解得4又函数（x）在（1，0)上是增函数当1x0时，（x）0即4x2+2（2)x0对于x(1,0)恒成立2（2）4x2，1x0，44x202（2）4，解得4故当=4时，（x)在(，1)上是减函数,在(1,0）上是增函数,即满足条件的存在.课外延伸题:30方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根答案：1 解析设f（x)=x33x+c，则（x)=3x23=3（x21)当x（0，1）时,（x)0恒成立f（x）在（0,1）上单调递减f（x)的图象与x轴最多有一个交点因此方程x33x+c=0在0，1）上至多有一实根31若函数f（x）x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案:2a2 解析：f（x）3x233(x1）(x1）令f（x）0,得x1或x1。f(x)在(，1)和（1，）上递增，在(1，1）上递减，,2a2。32。（2010湖北黄冈中学模拟,19）已知定义域为0，1的函数f（x)同时满足：对于任意的x0,1,总有f（x)0；f(1)=1；若x10,x20,x1+x21,则有f（x1+x2）f（x1)+f（x2）.(1)求f（0)的值；(2）求f(x)的最大值。解析：（1)对于条件,令x1=x2=0得f（0）0，又由条件知f（0)0，故f（0)=0.（2）设0x1x21,则x2x1(0，1),f（x2)f(x1）=f（x2x1)+x1f(x1）=f(x2x1）+f(x1)f(x1）=f（x2x1）0.即f（x2)f(x1），故f（x）在0,1上是单调递增，从而f(x)的最大值是f（1）=1。33。已知函数f（x）=（-1)2+(-1）2的定义域为m,n)且1mn2。（1)讨论函数f（x)的单调性；（2）证明:对任意x1、x2m，n，不等式|f（x1）-f(x2）|1恒成立.(1)解析：解法一:f（x）=(1）2+(1)2=+2,f(x）=(x4m2n2mx3+m2nx）=（x2-mx+mn）(x+)(x-).1mx0.令f(x）=0,得x=，当xm，时,f(x)0.f（x）在m,内为减函数,在，n)为内增函数。解法二：由题设可得f（x)=（1）2+1。令t=.1m2.令t=0,得x=.当xm，,t0；当x（,n）时,t0。t=在m，内是减函数，在，n内是增函数.函数y=（t-1）2-+1在1，+上是增函数,函数f(x)在m, 内是减函数,在，n内是增函数.（2）证明：由（1）可知,f(x）在m，n上的最小值为f（)=2(-1)2，最大值为f(m）=（-1)2.对任意x1、x2m，n,f（x1）-f(x2)|(-1）2-2(-1）2=（）24+41.令u=，h(u）=u44u2+4u1.1m0,h(u）在(1，)上是增函数.h（u)h()=48+41=4-51.不等式|f(x1）f（x2)1恒成立.高考链接题：34(2009广东文,8)函数f（x)(x3)ex的单调递增区间是（）A(，2) B（0，3) C(1,4) D（2，)答案D 解析考查导数的简单应用f(x）（x3）ex（x3)(ex)（x2)ex,令f（x）0，解得x2，故选D。35（2010新课标全国文)设函数f（x）x(ex1）ax2。(1)若a,求f(x)的单调区间；（2）若当x0时f(x）0，求a的取值范围解析（1)a时，f（x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)（x1）当x（,1）时,f（x）0;当x（1，0)时,f（x）0。故f（x)在(，1，0，)上单调递增,在1，0上单调递减（2)f(x)x（ex1ax）令g（x)ex1ax，则g（x）exa.若a1，则当x(0，)时，g（x）0,g（x)为增函数，而g（0)0，从而当x0时g（x)0,即f（x）0。当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0,g（x)为减函数,而g(0)0，从而当x（0,lna)时g(x)0，即f（x）0。综合得a的取值范围为（,136.（2009江西)设函数（1） 求函数的单调区间；（2） 若，求不等式的解集解： (1) , 由，得 因为 当时,； 当时，； 当时，；所以的单调增区间是:; 单调减区间是: .(2) 由 ,得：.故：当 时, 解集是:;当 时，解集是： ；当 时, 解集是：