人教版高数选修2-2第3讲：函数的单调性与导数(教师版).doc

导数与函数的单调性、极值

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一、函数的单调性与导数：
1． 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像
可以看到：

y=f(x)=x2－4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2，+∞)
增函数
正
＞0
(－∞，2)
减函数
负
＜0

在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f ¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．

类型一：函数的单调性与导数：
例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2．
令2x－2＞0，解得x＞1．
∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x
令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．
证法一：（用以前学的方法证）
证法二：（用导数方法证）
∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0． ∴f′(x)＜0，
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。
例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．
解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜． ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1．
∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)

例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．
分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。
证明：令f(x)=e2x－1－2x． ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)
∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0
∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。
∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0．
∴1+2x＜e2x
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。
例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。
解：y′=(x+)′
=1－1·x－2=
令＞0． 解得x＞1或x＜－1．
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)．
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1．
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)．
四、课堂练习
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2．
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4．∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)
令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜．
∴y=x－x3的单调增区间是(－，)．
令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－．
∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)
2．讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间．
解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b＞0，解得x＞－
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－，+∞)
令2ax+b＜0，解得x＜－．
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－)
3．求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x
(1)解：y′=()′=
∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0．
∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)
(2)解：y′=()′
当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0．
∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞)．
(3)解：y′=(+x)′．
当x＞0时+1＞0，∴y′＞0． ∴y=+x的单调增区间是(0，+∞)．

1.函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（　　）
A.0<a< B.a<-1或a> C.a> D.a>-2
答案：C
解析：∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>.
2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
答案：C解析：∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调， ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立， 所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x),0<x<1，可知－4<g(x)<0， ∴a≥0或a≤－4，故选C.
3．函数f(x)＝x＋的单调区间为________．
答案：(－3,0)，(0,3)
解析：f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得－3<x<0或0<x<3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．
4.函数的单调增区间为__________________，单调减区间为___________________
答案：；
解析：
5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
[答案](1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
6．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．
[答案]　(－∞，－1)
[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)
7．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
[答案]　b<－1或b>2
[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.
8.已知x∈R,求证：ex≥x+1．
证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．
∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．
9．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．
[答案]解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知

故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当
故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．
点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;
[答案]解:（1）=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0,
∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,∴b≥.
12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.
[答案]解:f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax∴=3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足≥0即可.∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,
∴a的取值应满足：或解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.
13．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
[答案]解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。
[答案]解：（1）由的图象经过P（0，2），知，所以，
由在点M（）处的切线方程为
∴ 即 ∴ 解得
故所求的解析式是
（2） 令，解得
当或时，
当时，
故在内是增函数，在内是减函数
在内是增函数
点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
15．已知函数f(x)＝，求导函数f ′(x)，并确定f(x)的单调区间．
解析：f ′(x)＝＝
＝－
令f ′(x)＝0，得x＝b－1且x≠1.
当b－1＜1，即b＜2时，f ′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，b－1)
b－1
(b－1,1)
(1，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
－
当b－1＞1，即b＞2时，f ′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
(1，b－1)
b－1
(b－1，＋∞)
f ′(x)
－
＋
0
－
所以，当b＜2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
当b＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减．
当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．

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基础巩固
一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　y′＝4x3－4x，
令y′<0，即4x3－4x<0，
解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.
2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
[答案]　B
[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f ′(x)>0，g′(x)<0.
4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f ′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，
∴m≥，故p是q的必要不充分条件．
5．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)

[答案]　C
[分析]　由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析]　由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C.
6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f ′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)
A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)
C．f(2)<e2f(0)，f(2012)<e2012f(0) D．f(2)>e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)
[答案]　C
[解析]　∵函数F(x)＝的导数
F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)．
同理可得f(2012)<e2012f(0)．故选C.
二、填空题
7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
[答案]　(－∞，－1)
[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为
(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0]
[解析]　∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
9．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________．
[答案]　b≤－1
[解析]　f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.
三、解答题
10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析]　(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1. ①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f ′(1)＝8，
又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5. ②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，
令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f ′(x)<0，可得－3<x<.
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，)．

一、选择题
11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f ′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．
12．(2014·北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f ′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是(　　)
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋
A．2　　　 B．3　　　
C．4　　　 D．5
[答案]　B
[解析]　①中的函数f(x)＝x2，f ′(x)＝2x，要使f(x)＝f ′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则lnx＝，由函数f(x)＝lnx与y＝的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则tanx＝，即sinxcosx＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则x＋＝1－，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.
13．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
[答案]　B
[解析]　令g(x)＝，则
g′(x)＝＝<0，
所以g(x)在R上是减函数，又y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以原不等式可化为g(x)＝<1＝g(0)，所以x>0，故选B.
14．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)

[答案]　C
[解析]　当0<x<1时xf ′(x)<0，
∴f ′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数．
当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
二、填空题
15．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a，a](a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0<x<a时，有f ′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．
[答案]　2
[解析]　∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，
∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f ′(x)＋f(x)]>0，
∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，
又∵g(0)·g(a)<0，
∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，
又∵ex≠0，
∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，
∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．
三、解答题
16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)求导得f ′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f ′(1)＝－12，
即，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f ′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f ′(x)<0，解得－1<x<3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
17．(2014·山师附中学分认定考试)已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析]　(1)f′(x)＝－＋1，
∵f′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，
∵a>0，∴a＝.
(2)f′(x)＝－＋1
＝＝，
∵当x∈(0，)时，f ′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．

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