人教版高数选修2-2第3讲：函数的单调性与导数(教师版).doc

导数与函数的单调性、极值_ 一、函数的单调性与导数：1 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数从函数的图像可以看到：y=f(x)=x24x+3切线的斜率f(x)(2，+)增函数正0(，2)减函数负0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f (x)0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)0，得函数的单调递减区间 类型一：函数的单调性与导数：例1确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f(x)=(x22x+4)=2x2令2x20，解得x1当x(1，+)时，f(x)0，f(x)是增函数令2x20，解得x1当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数 例2确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数令6x212x0，解得0x2当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数 例3证明函数f(x)=在(0，+)上是减函数证法一：（用以前学的方法证）证法二：（用导数方法证）f(x)=( )=(1)x2=，x0，x20，0 f(x)0，f(x)= 在(0，+)上是减函数。点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例4求函数y=x2(1x)3的单调区间解：y=x2(1x)3=2x(1x)3+x23(1x)2(1)=x(1x)22(1x)3x=x(1x)2(25x)令x(1x)2(25x)0，解得0x y=x2(1x)3的单调增区间是(0，)令x(1x)2(25x)0，解得x0或x且x1为拐点，y=x2(1x)3的单调减区间是(，0)，(，+)例5当x0时，证明不等式：1+2xe2x分析：假设令f(x)=e2x12xf(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明。证明：令f(x)=e2x12x f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数。f(0)=e010=0当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x01+2xe2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。解：y=(x+)=11x2=令0 解得x1或x1y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+)令0，解得1x0或0x1y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)四、课堂练习1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x)令3(x+)(x)0，解得xy=xx3的单调增区间是(，)令3(x+)(x)0，解得x或xy=xx3的单调减区间是(，)和(，+)2讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(，+)令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，)3求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x(1)解：y=()=当x0时，0，y0y=的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=()当x3时，0，y0y=的单调减区间是(，3)，(3，3)与(3，+)(3)解：y=(+x)当x0时+10，y0 y=+x的单调增区间是(0，+)1.函数f(x)=在区间（-2，+）上为增函数，那么实数a的取值范围为（）A.0aB.aC.aD.a-2答案：C解析：f(x)=a+在(-2,+)递增，1-2a.2已知函数f(x)x22xalnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()Aa0Ba0或a4答案：C解析：f(x)2x2，f(x)在(0,1)上单调， f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立，即2x22xa0或2x22xa0在(0,1)上恒成立， 所以a(2x22x)或a(2x22x)在(0,1)上恒成立记g(x)(2x22x),0x1，可知4g(x)0， a0或a4，故选C.3函数f(x)x的单调区间为_答案：(3,0)，(0,3)解析：f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x3，故单调减区间为(3,0)和(0,3)4.函数的单调增区间为_，单调减区间为_答案：；解析：5确定下列函数的单调区间:(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3答案(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是(，1)和(1，+)6函数yln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1)解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f(x)2x10，得x，函数yln(x2x2)的单调减区间为(，1)7已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的范围为_答案b2解析若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，1b2，由题意b1或b2.8.已知xR,求证：exx+1证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1当x=0时，f（x）=0,f（x）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数f（x）f（0）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=09已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间;是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1. y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)10已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间答案解：（）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以 由在M(-1,f(-1)处的切线方程是， 知故所求的解析式是 （） 解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函数，求b的取值范围;答案解:（1）=3x2-x+b,因f(x)在（-，+）上是增函数，则0.即3x2-x+b0,bx-3x2在（-，+）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,b.12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+）上是增函数，试确定实数a的取值范围.答案解:f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax=3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+）上满足0即可.=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,a的取值应满足：或解得:a.a的取值范围是a.13已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围答案解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。答案解：（1）由的图象经过P（0，2），知，所以， 由在点M（）处的切线方程为 即 解得故所求的解析式是（2） 令，解得当或时，当时，故在内是增函数，在内是减函数在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力15已知函数f(x)，求导函数f (x)，并确定f(x)的单调区间解析：f (x)令f (x)0，得xb1且x1.当b11，即b2时，f (x)的变化情况如下表：x(，b1)b1(b1,1)(1，)f (x)0当b11，即b2时，f (x)的变化情况如下表：x(，1)(1，b1)b1(b1，)f (x)0所以，当b2时，函数f(x)在(，b1)上单调递减，在(b1,1)上单调递增，在(1，)上单调递减当b2时，函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，b1)上单调递增，在(b1，)上单调递减当b11，即b2时，f(x)，所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递减_基础巩固一、选择题1函数yx42x25的单调递减区间为()A(，1和0,1B1,0和1，)C1,1D(，1和1，)答案A解析y4x34x，令y0，即4x34x0，解得x1或0x1，所以函数的单调减区间为(，1)和(0,1)，故应选A.2函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()Aa0 Ba1Ca0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0，g(x)，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析f (x)3x24xm，f(x)在R上单调递增，f (x)0在R上恒成立，1612m0，m，故p是q的必要不充分条件5设f (x)是函数f(x)的导函数，yf (x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能的是()答案C分析由导函数f(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解解析由f (x)的图象知，x(，0)时，f (x)0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数只有C符合题意，故选C.6(2014福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f(x)满足f (x)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)Bf(2)e2012f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2012)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)答案C解析函数F(x)的导数F(x)0，函数F(x)是定义在R上的减函数，F(2)F(0)，即，故有f(2)e2f(0)同理可得f(2012)e2012f(0)故选C.二、填空题7函数yln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1)解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f (x)2x10，得x0，可得x；令f (x)0，可得3x.函数f(x)的单调增区间为(，3)，(，)，单调减区间为(3，)一、选择题11(2012天津理，4)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3答案B解析本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力f(x)2xx32,0x0在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增又f(0)200210，f(0)f(1)0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则lnx，由函数f(x)lnx与y的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则tanx，即sinxcosx1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于中的函数，要使f(x)f (x)，则x1，即x3x2x10，设函数g(x)x3x2x1，g(x)3x22x10且g(1)0，显然函数g(x)在(1,0)上有零点，原函数有巧值点，故正确，选C.13(2014天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f(x)，若对于任意实数x，有f(x)f(x)，且yf(x)1为奇函数，则不等式f(x)ex的解集为()A(，0)B(0，)C(，e4)D(e4，)答案B解析令g(x)，则g(x)0，所以g(x)在R上是减函数，又yf(x)1为奇函数，所以f(0)10，所以f(0)1，g(0)1，所以原不等式可化为g(x)0，故选B.14已知函数yxf(x)的图象如图(1)所示(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()答案C解析当0x1时xf (x)0，f (x)1时xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.二、填空题15(2014衡阳六校联考)在区间a，a(a0)内图象不间断的函数f(x)满足f(x)f(x)0，函数g(x)exf(x)，且g(0)g(a)0，又当0x0，则函数f(x)在区间a，a内零点的个数是_答案2解析f(x)f(x)0，f(x)为偶函数，g(x)exf(x)，g(x)exf (x)f(x)0，g(x)在0，a上为单调增函数，又g(0)g(a)0，解得x3；又令f (x)0，解得1x0)若函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)f(x)1，f(1)2，2a2a30，a0，a.(2)f(x)1，当x(0，)时，f (x)0，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)14