人教版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式(教师版).doc

两角和与差的正余弦、正切公式及二倍角公式_1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.一、 两角和的余弦公式： 的推导：复习：两点间的距离公式： 设， 推导过程：设角、角为任意角如左图在平面直角坐标系中作,则作单位圆，设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C再作由三角函数定义知： ， , ， ，由已知：; 展开并整理得: 上述公式称为两角和的余弦公式记为 解：那么， 所以cos（）=cos=二、两角和与差的正弦公式： sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin. sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.三、 两角和与差的正切公式：当cos(+)0时，tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0时,分子、分母同除以coscos得tan(+)=，据角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，则有tan(-)=cos(+)=coscos-sinsinsin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.tan(+)=tan(-)= 四、 公式汇编：1两角和与差的三角函数；。2二倍角公式；。3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；三角公式的逆用；切割化弦，异名化同名，异角化同角等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式； ； 。（2）辅助角公式，=公式的推导：令，则，于是有： 其中由，和共同确定类型一：正用公式例1.已知:，求的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.【点评】例1是对公式的正用当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.练习：【变式1】已知，则 .【答案】.【变式2】已知，则 .【答案】【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.【答案】【解析】由韦达定理，得， ， .【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【解析】.选择(2)式计算如下 .证明: 例2已知，,，求的值.【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式.【解析】,，【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有, 等.2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.练习：【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角，得， ，.【变式2】函数的最大值为（ ）A B C D 【答案】C； 【解析】，.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知【答案】【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） ， 【变式4】已知，求的值。【答案】【解析】 ， ， ， 。 类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）； （4）.【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=；（2）原式； （3）原式；（4）原式.【点评】把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 练习：【变式1】化简.【答案】【变式2】已知，那么的值为（ ）A B C D 【答案】A； 【解析】，.例4. 求值：（1）；（2）【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式= 【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍；最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。练习：【变式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=（2） 类型三：变用公式例5求值：（1） ；（2）（2）【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系.【解析】（1），原式.（2），.【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.练习：【变式1】求值：= 【答案】1【变式2】在中，,，试判断的形状.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,即，又,故,故是顶角为的等腰三角形.类型四：三角函数式的化简与求值例6. 化简：（1）；(2）【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，所以要用二倍角公式降次.【解析】（1）原式=（2）原式=【点评】三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.练习： 【变式1】化简：（1）；（2）； （3）【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.【变式2】若，且，则_.【答案】由，得，.例7已知，且，求的值.【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.【解析】，而，故，又，故，从而，而，而，又，【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点在本例中使用了配角技巧，这些都要予以注意.练习：【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】A【变式2】已知，求。【解析】，解得, ，.一、选择题1cos75cos15sin435sin15的值是()A0BCD答案A解析cos75cos15sin435sin15cos75cos15sin(36075)sin15cos75cos15sin75sin15cos(7515)cos900.2在ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则ABC一定为()A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形答案D解析sinAsinB0，cos(AB)0，A、B、C为三角形的内角，AB为锐角，C为钝角3化简sin(xy)sin(xy)cos(xy)cos(xy)的结果是()Asin2xBcos2yCcos2xDcos2y答案B解析原式cos(xy)(xy)cos2y.4sin15cos75cos15sin105等于()A0BCD1答案D解析sin15cos75cos15sin105sin15cos(9015)cos15sin(9015)sin15sin15cos15cos15cos(1515)cos01.5sincos的值是()A0BCD2答案B解析原式222cos2.6ABC中，cosA，且cosB，则cosC等于()ABCD答案B解析由cosA0，cosB0知A、B都是锐角，sinA，sinB，cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB).二、填空题7若cos，(0，)，则cos()_.答案解析cos，(0，)，sin.cos()coscossinsin.8已知cosxcosy，sinxsiny，则cos(xy)_.答案解析cosxcosy，sinxsiny，cos2x2cosxcosycos2y，sin2x2sinxsinysin2y，两式相加得22cos(xy)，cos(xy).三、解答题9已知sinsinsin，coscoscos.求证：cos().解析sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscos22得22(coscossinsin)1，即得cos()._基础巩固1若sin xcos x4m，则实数m的取值范围是()A2m6 B.6m6C2m6 D.2m4解析sin xcos x222cos4m，cos，1，解得2m6.答案A2.的值是()A. B. C. D.解析.答案C3(2012齐齐哈尔高一检测)若cos()，cos 2，并且、均为锐角，且，则的值为()A. B. C. D.解析0，0,02，由cos()，得sin ()，由cos 2，得sin 2.cos()coscos 2cos()sin 2sin()3.又(0，)，.答案C4cos 15sin 15_.解析cos 15sin 15(cos 15cos 45sin 15sin 45)cos(4515)cos 30.答案5(2012成都高一检测)若cos ，则cos_.解析cos ，sin ，coscos cossin sin.答案6已知，sin，sin，则cos_.解析，又sin()，sin，cos()，cos .coscoscos()cossin()sin.答案7已知：sin ，cos()，0，求cos 的值解因为sin ，0，所以cos .因为cos()，所以sin().所以cos cos()cos()cos sin()sin 1.8(2012蚌埠高一检测)若sin xcos xcos(x)，则的一个可能值为()A B. C. D.解析sin xcos xcos xcossin xsincos，故的一个可能值为.答案A9已知cos ，则cos sin 的值为_解析coscos cos sin sin cos sin ，故cos sin .答案10已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|，求cos()解a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，ab(cos cos ，sin sin )|ab|，22cos()，cos(). 能力提升一、选择题1. 已知，则（ ）. B. C. D. 答案：D ，2. 函数的最小正周期是（ ）. B. C. D. 答案： D 3. 在BC中，则ABC为（ ）. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定答案： C 为钝角4. 设，,则大小关系（ ）. B. C. D. 答案： D ，5. 函数是（ ）. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数答案： C ，为奇函数，6. 已知，则的值为（ ）. B. C. D. 答案： B 二、填空题1. 求值：_. 答案： 2. 若则 .答案： 3. 已知那么的值为 ,的值为 . 答案： 4. 的三个内角为、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 . 答案： 当，即时，得三、解答题1. 已知求的值. 解：. 若求的取值范围. 解：令，则2. 求值：解：原式 3. 已知函数求取最大值时相应的的集合；该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象. 解： （1）当，即时，取得最大值 为所求22