人教版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式(学生版).doc

两角和与差的正余弦、正切公式

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一、 两角和的余弦公式： 的推导：
复习：两点间的距离公式：
设，
推导过程：
设角、角为任意角
如左图在平面直角坐标系中
作,
则
作单位圆，
设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C
再作

由三角函数定义知：
， , ， ，
由已知：;

展开并整理得:

上述公式称为两角和的余弦公式记为

二、两角和与差的正弦公式：
sin(α+β)=cos［-(α+β)］=_______________________________________________
sin(α-β)=sin［α+(-β)］=____________________________________________________
三、 两角和与差的正切公式：
当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=_________________________________________________
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有
tan(α-β)=

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
tan(α+β)=
tan(α-β)=
四、 公式汇编：
1．两角和与差的三角函数
；
；
。
2．二倍角公式
；
；
。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
； ； 。
（2）辅助角公式
，
=公式的推导：

令，则，于是有：

其中由，和共同确定

类型一：正用公式
例1.已知:，求的值.
举一反三：
【变式1】已知，，则 .
【变式2】已知，则 .
【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.
【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】
【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
例2．已知，,，求的值.

举一反三：
【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.
【变式2】函数的最大值为（ ）
A． B．　 C． D．
【变式3】已知

【变式4】已知，，，，求的值。

类型二：逆用公式
例3.求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
举一反三：
【变式1】化简.
【变式2】已知，那么的值为（ ）
A． B．　 C． D．
例4. 求值：
（1）；（2）
举一反三：
【变式】求值：
（1）；（2）.

类型三：变用公式
例5．求值：
（1） ；（2）
（2）
举一反三：
【变式1】求值：= ．
【变式2】在中，,，试判断的形状.
类型四：三角函数式的化简与求值

例6. 化简：
（1）；(2）

【点评】
①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。
②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）；（2）； （3）
【变式2】若，且，则___________.
【答案】由，，得，
.

例7．已知，，且，求的值.
举一反三：
【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）
A. B. C. 或 D.
【变式2】已知，，求。

一、选择题
1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是(　　)
A．0 B．
C． D．－
2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　　)
A．sin2x B．cos2y
C．－cos2x D．－cos2y
4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)
A．0 B．
C． D．1
5．sin－cos的值是(　　)
A．0 B．－
C． D．2
6．△ABC中，cosA＝，且cosB＝，则cosC等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
二、填空题
7．若cosα＝，α∈(0，)，则cos(α＋)＝________.
8．已知cosx－cosy＝，sinx－siny＝，则cos(x－y)＝________.
三、解答题
9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.
求证：cos(α－γ)＝.

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基础巩固
1．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)．
A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6
C．2<m<6 D.2≤m≤4
2.的值是(　　)．
A. B.
C. D.
3．(2012·齐齐哈尔高一检测)若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)．
A. B.
C. D.
4．cos 15°＋sin 15°＝________.
5．(2012·成都高一检测)若cos θ＝－，θ∈，则cos＝________.
6．已知α，β∈，sin＝－，sin＝，则cos＝________.
7．已知：sin α＝，cos(α＋β)＝－，0<α<，π<α＋β<π，求cos β的值．

8．(2012·蚌埠高一检测)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值为
(　　)．
A．－ B.－
C. D.
9．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为________．
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)．
能力提升
一、选择题
1. 已知，，则（ ）
Α. B. C. D.
2. 函数的最小正周期是（ ）
Α. B. C. D.

3. 在△ΑBC中，，则△ABC为（ ）
Α. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定
4. 设，，,则大小关系（ ）
Α. B.
C. D.
5. 函数是（ ）
Α. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
6. 已知，则的值为（ ）
Α. B. C. D.

二、填空题

1. 求值：_____________.
2. 若则 .
3. 已知那么的值为 ,的值为 .
4. 的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 .
三、解答题

1. ① 已知求的值.
②若求的取值范围.
2. 求值：

3. 已知函数
①求取最大值时相应的的集合；
②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.

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