选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数.doc

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课题：3.3。1函数的单调性
教学目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
教学重点：利用导数判断函数单调性
教学难点：利用导数判断函数单调性
授课类型：新授课
课时安排:1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
   以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1,x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1）＜f(x2）,那么函数f（x）就是区间I上的增函数。 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时,都有f（x1)＞f(x2），那么函数f（x）就是区间I上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f（x1)与f（x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
教学过程:
一、复习引入：
1。 常见函数的导数公式：
; ; ；
; ； ;
2.法则1 　．
法则2 ,
法则3
二、讲解新课：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x）的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像
可以看到：

y=f（x）=x2－4x+3
切线的斜率
f′（x)
（2，+∞)
增函数
正
＞0
（－∞，2)
减函数
负
＜0

在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f（x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x） 在区间（2，＋∞)内为增函数；在区间（－∞，2)内，切线的斜率为负，函数y=f（x）的值随着x的增大而减小，即0时,函数y=f(x） 在区间（－∞，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x） 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x） 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f（x)的导数f′(x）.
②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令f′（x）＜0解不等式,得x的范围,就是递减区间。
三、讲解范例：
例1确定函数f(x）=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，　　　　哪个区间内是减函数.
解：f′(x）=（x2－2x+4)′=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1。
∴当x∈(1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x)是增函数。
令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈（－∞，1)时,f′（x）＜0,f(x)是减函数。
例2确定函数f(x）=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，　　哪个区间内是减函数。
解：f′(x）=（2x3－6x2+7)′=6x2－12x
令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈（－∞，0）时，f′（x）＞0，f(x)是增函数。
当x∈（2，+∞）时，f′(x)＞0，f(x）是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
∴当x∈（0，2)时,f′(x）＜0,f(x）是减函数.
例3证明函数f(x)=在（0，+∞)上是减函数.
证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈（0,+∞）设x1＜x2。
f(x1）－f（x2）=
∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0, ∴＞0
∴f（x1）－f(x2)＞0，即f(x1）＞f(x2)
∴f（x）= 在（0，+∞）上是减函数。
证法二：(用导数方法证)
∵=（）′=（－1）·x－2=－，x＞0，
∴x2＞0,∴－＜0。 ∴，
∴f（x)= 在(0，+∞）上是减函数.
点评:比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4确定函数的单调减区间
例５已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间。
解：y′=（x+)′
=1－1·x－2=
令＞0。 解得x＞1或x＜－1。
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1,+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1。
∴y=x+的单调减区间是(－1，0）和(0，1）
四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间
（1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3
(1）解：y′=（x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3（x－2）(x－4）
令3（x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2。
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是（4，+∞)和(－∞,2)
令3（x－2）（x－4）＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=（x－x3)′=1－3x2=－3(x2－）=－3(x+)（x－)
令－3（x+)(x－）＞0，解得－＜x＜.
∴y=x－x3的单调增区间是(－，）.
令－3（x+）（x－）＜0,解得x＞或x＜－.
∴y=x－x3的单调减区间是（－∞，－)和(，+∞)
2。讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0）的单调区间。
解：y′=（ax2+bx+c)′=2ax+b， 令2ax+b＞0，解得x＞－
∴y=ax2+bx+c（a＞0）的单调增区间是(－，+∞）
令2ax+b＜0，解得x＜－.
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是（－∞,－)
3.求下列函数的单调区间（1）y= (2)y= (3)y=+x
(1）解：y′=（）′=
∵当x≠0时,－＜0，∴y′＜0.
∴y=的单调减区间是(－∞，0）与(0，+∞)
（2）解:y′=（）′
当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0。
∴y=的单调减区间是(－∞，－3）,（－3,3)与（3,+∞).
（3）解：y′=（+x)′.
当x＞0时+1＞0,∴y′＞0. ∴y=+x的单调增区间是（0，+∞）
五、小结 :
f(x）在某区间内可导，可以根据＞0或＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式。以及当=0在某个区间上,那么f（x）在这个区间上是常数函数
六、课后作业: