选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数.doc

个人收集整理 勿做商业用途课题：3.3。1函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课 课时安排:1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1,x2I，且当x1x2时，都有f(x1）f(x2）,那么函数f（x）就是区间I上的增函数。 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时,都有f（x1)f(x2），那么函数f（x）就是区间I上的减函数。在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f（x1)与f（x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程:一、复习引入： 1。 常见函数的导数公式：; ; ； ; ； ; 2.法则1 法则2 , 法则3 二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x）的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：y=f（x）=x24x+3切线的斜率f（x)（2，+)增函数正0（，2)减函数负0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f（x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x） 在区间（2，)内为增函数；在区间（，2)内，切线的斜率为负，函数y=f（x）的值随着x的增大而减小，即0时,函数y=f(x） 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x） 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x） 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤：求函数f（x)的导数f(x）.令f（x）0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f（x）0解不等式,得x的范围,就是递减区间。三、讲解范例：例1确定函数f(x）=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x）=（x22x+4)=2x2.令2x20，解得x1。当x(1，+）时，f（x）0，f（x)是增函数。令2x20，解得x1.当x（，1)时,f（x）0,f(x)是减函数。 例2确定函数f(x）=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f(x）=（2x36x2+7)=6x212x令6x212x0，解得x2或x0当x（，0）时，f（x）0，f(x)是增函数。当x（2，+）时，f(x)0，f(x）是增函数.令6x212x0，解得0x2.当x（0，2)时,f(x）0,f(x）是减函数. 例3证明函数f(x)=在（0，+)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2（0,+）设x1x2。f(x1）f（x2）=x10，x20，x1x20x1x2，x2x10, 0f（x1）f(x2)0，即f(x1）f(x2)f（x）= 在（0，+）上是减函数。证法二：(用导数方法证)=（）=（1）x2=，x0，x20,0。 ，f（x)= 在(0，+）上是减函数.点评:比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4确定函数的单调减区间例已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间。解：y=（x+)=11x2=令0。 解得x1或x1。y=x+的单调增区间是(，1)和(1,+).令0，解得1x0或0x1。y=x+的单调减区间是(1，0）和(0，1）四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间（1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1）解：y=（x39x2+24x)=3x218x+24=3（x2）(x4）令3（x2)(x4)0，解得x4或x2。y=x39x2+24x的单调增区间是（4，+)和(,2)令3（x2）（x4）0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=（xx3)=13x2=3(x2）=3(x+)（x)令3（x+)(x）0，解得x.y=xx3的单调增区间是(，）.令3（x+）（x）0,解得x或x.y=xx3的单调减区间是（，)和(，+)2。讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0）的单调区间。解：y=（ax2+bx+c)=2ax+b， 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c（a0）的单调增区间是(，+）令2ax+b0，解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是（,)3.求下列函数的单调区间（1）y= (2)y= (3)y=+x(1）解：y=（）=当x0时,0，y0.y=的单调减区间是(，0）与(0，+)（2）解:y=（）当x3时，0，y0。y=的单调减区间是(，3）,（3,3)与（3,+).（3）解：y=（+x).当x0时+10,y0. y=+x的单调增区间是（0，+） 五、小结 : f(x）在某区间内可导，可以根据0或0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式。以及当=0在某个区间上,那么f（x）在这个区间上是常数函数 六、课后作业: