1、4.1 函数的单调性与极值 一、教学目标： 1会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会机敏应用； 2会用导数推断或证明函数的单调性；3通过对可微函数单调性的争辩，加深同学对函数导数的理解，提高同学用导数解决实际问题的力气，增加同学数形结合的思维意识二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能机敏应用 教学难点：机敏应用导数法去解决函数单调性的有关问题的力气，以及解题擅长运用数形结合的思想方法三、教学用具：多媒体四、教学过程 1复习引入 问题1 对于函数，利用函数单调性的定义争辩它在R上的单调性（此题是教科书中引例的变式多媒体呈现） 老师引导同学独立完成，并
2、请同学上台板演，以挂念同学复习函数单调性的有关学问点评同学的解答后，呈现老师的推演过程与函数图象，理清同学的思路 略解：对任意，有 当时，有，知在其中是减函数； 当时，有，知在其中是增函数 2新授 （多媒体画面中，问题1的解答消逝，问题1与图形适当调整位置，并增加呈现出图象上点处的切线随变化的动画给出问题2） 问题2 对于函数，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？ 从动画中同学不难看出：在区间内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间内，函数为减函数，切线的斜率为负；在时，函数的切线的斜率为0 （画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3） 问题3 对于函数，它的增减性与函
3、数在相应区间上导数的正负符号有何联系？ 因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中同学易知：函数在区间内导数为正；在区间内导数为负；在时，函数的切线的斜率为0分段呈现结论：一般地，设函数在某个区间可导，假如，则为增函数；假如，则为减函数；假如在某区间内恒有，则为常数 特殊说明第三点：在某区间内为常数，当且仅当在该区间内“恒有”之时否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行） 3例题与练习 例1 题解可引导同学自己完成，老师加以完善然后向同学呈现老师的书写格式与此函数的图象，使同学能清楚解题时应如何表达书写为好最终可提示同学，在处转变了增减性，转变了正负符号，为下一节的学
4、习作铺垫 同学独立完成并请上台板演点评时留意同学的思路、符号、术语、书写格式是否合理然后向同学呈现老师的推演过程与函数的图象，以挂念同学理清思路（解题过程略） 例2 师生共同完成，呈现老师的解答与此函数的图象，加深同学的理解说明在和处函数转变增减性，导数为0一是使同学能更清楚在何种状况下为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔（解题过程略） 特殊说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提示同学在以后解题时可多尝试使用此法 补充练习1函数的单调递增区间是_ 略解：由，得增区间为与 补充练习2 已知函数，则函数在（2，1）内是（ ） A单调递减 B单调递增 C可
5、能递增也可能递减 D以上都不成立 略解：当时，有，递减故选A 补充练习3 已知函数，则（ ） A在上递增 B在上递减 C在上递增 D在上递减 略解：当时，递减故选D 补充练习4 函数的递减区间是_ 略解：要使，只需，故递减区间为 补充练习5 证明函数在区间（0，1）上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增 略证：由，在（0，1）上，增；在（1，2）上，减 补充练习6 争辩函数在内的单调性略解：因，由，得，增由，得，减4归纳小结（1）函数导数与单调性的关系：时，增函数；时，减函数用导数去争辩函数的单调性比用定义法更为简便（2）本节课中，用导数方法去争辩函数单调性问题是中心，机敏应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使同学养成的良好思维习惯五、布置作业教科书习题 第1、2题课外争辩题1设函数，其中，求的取值范围，使函数在上是单调函数（2000年全国高考题）略解：，其中且时，使函数在上是单调必定；，知2当时，证明不等式成立解：作函数，当时，知单调递减；当时，知在时，作，当时，知单调递减；当时，知在时，综上获证
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