资源描述
4．2 导数在实际问题中的应用
教学目的：
1. 进一步娴熟函数的最大值与最小值的求法；
⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题
教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．
教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．
授课类型：新授课
课时支配：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0四周有定义，假如对x0四周的全部的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.微小值：一般地，设函数f(x)在x0四周有定义，假如对x0四周的全部的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个微小值，记作y微小值=f(x0)，x0是微小值点
3.极大值与微小值统称为极值
4. 判别f(x0)是极大、微小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且假如在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；假如在两侧满足“左负右正”，则是的微小值点，是微小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不愿定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点四周函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
二、讲解范例：
例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
_
x
_
x
_
60
_
60
x
x
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积
．
令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积
．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值毁灭在极值点处．
事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积确定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得，则
S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2
令 +4πR=0
解得，R=，从而h====2
即 h=2R
由于S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
V(R)=R=
)=0 ．
例3在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、假如C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、假如C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
利润
令，即，求得唯一的极值点
答：产量为84时，利润L最大
三、课堂练习：
1.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.
2.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______.
3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
4.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.
5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大
答案：1. －15 2. － 3. 4.a b 5.R
四、小结 ：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵依据问题的实际意义来推断函数最值时，假如函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简洁
五、课后作业：
1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0<x<)
V′=4(3x2－13x+10)(0<x<),V′=0得x=1 依据实际状况，小盒容积最大是存在的，
∴当x=1时，容积V取最大值为18.
2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，期望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b, ∴S= ①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=
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