高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-知识归纳：导数的计算.docx

学问归纳：导数的计算
一、几个常用函数的导数
1.公式1　C′=0(C为常数)
2.公式2　(xn)′=nxn-1(n∈Q)
3.公式3　(sinx)′=cosx
4.公式4　(cosx)′=-sinx
5.y=C(C是常数)，求y′.
解：y=f(x)=C，
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,
=0.
Y′=C′==0,∴y′=0.
6.y=sinx,求y′
解：Δy=sin(x+Δx)-sinx
=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,
,
∴

=-2sinx·1·0+cosx=cosx.
∴y′=cosx.
7. y=cosx,求y′.
解：Δy=cos(x+Δx)-cosx
=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,

=-2cosx·1·0-sinx=-sinx,
∴y′=-sinx.
二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1．常见函数的导数公式：
（1）(C为常数)；
（2）()；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
2．导数的运算法则：
法则1 　．
法则2 , ．
法则3 ．
3. 和或差的导数等于导数的和或差.
证明：y=f(x)=u(x)±v(x),
Δy=u(x+Δx)±v(x+Δx)-［u(x)±v(x)］
=u(x+Δx)-u(x)±［v(x+Δx)-v(x)］
=Δu±Δv.
∴.
∴ =u′(x)±v′(x),
即y′=(u±v)′=u′±v′.
4. 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘其次个函数，加上第一个函数乘其次个函数的导数，即(uv)′=u′v+uv′.
证明：y=f(x)=u(x)v(x),
Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)
=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)
=［u(x+Δx)-u(x)］v(x+Δx)+u(x)·［v(x+Δx)-v(x)］.
∴.
∵v(x)在点x处可导，
∴v(x)在点x处连续.
∴当Δx→0时，v(x+Δx)→v(x).
∴
=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
∴y′=(uv)′=u′v+uv′.
5. 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,
即 (v≠0).
证明：,

=
=
=,
.
∵v(x)在点x处可导，所以v(x)在点x处连续,
∴当Δx→0时，v(x+Δx)→v(x).
∴,
即.