高中数学选修2-2函数的单调性与导数.doc

1.3.1函数的单调性与导数学习目标1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数yf(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求出函数的导数f(x).(3)解不等式f(x)0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)0，得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.如图，函数yf(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(，a)和(b，)内的图象“平缓”. 题型一利用导数确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间.(1)f(x)3x22ln x；(2)f(x)x2ex；(3)f(x)x .解(1)函数的定义域为D(0，).f(x)6x，令f(x)0，得x1，x2(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：xf(x)0f(x)函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)函数的定义域为D(，).f(x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f(x)0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)f(x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为D(，0)(0，).f(x)1，令f(x)0，得x11，x21，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(，1)1(1,0)(0,1)1(1，)f(x)00f(x)函数f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,1)，单调递增区间为(，1)和(1，).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“”.跟踪训练1求函数f(x)x33x的单调区间.解f(x)3x233(x21).当f(x)0时，x1或x1，此时函数f(x)单调递增；当f(x)0时，1x1，此时函数f(x)单调递减.函数f(x)的递增区间是(，1)，(1，)，递减区间是(1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2画出函数f(x)2x33x236x16的大致图象.解f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2).由f(x)0 得x2或x3，函数f(x)的递增区间是(，2)和(3，).由f(x)0得2x3，函数f(x)的递减区间是(2,3).由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.跟踪训练2已知导函数f(x)的下列信息：当2x3时，f(x)0；当x3或x2时，f(x)0；当x3或x2时，f(x)0；试画出函数f(x)图象的大致形状.解当2x3时，f(x)0，可知函数在此区间上单调递减；当x3或x2时，f(x)0，可知函数在这两个区间上单调递增；当x3或x2时，f(x)0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变.综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).题型三利用导数确定参数的取值范围例3已知函数f(x)2axx3，x(0,1，a0，若函数f(x)在(0,1上是增函数，求实数a的取值范围.解f(x)2a3x2，又f(x)在(0,1上是增函数等价于f(x)0对x(0,1恒成立，且仅有有限个点使得f(x)0，x(0,1时，2a3x20，也就是ax2恒成立.又x(0,1时，x2，a.a的取值范围是.反思与感悟已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.跟踪训练3已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，h(x)ax2.h(x)在(0，)上存在单调递减区间，当x(0，)时，ax20有解，即a有解.设G(x)，只要aG(x)min即可.而G(x)21，G(x)min1，a1.(2)h(x)在1,4上单调递减，x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，aG(x)max，而G(x)21，G(x)max，a.求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误例4求函数yxln x的单调区间.错解y1，令y10，得x1或x0，所以函数yxln x的单调递增区间为(1，)，(，0).令y10，得0x1，所以函数yxln x的单调递减区间为(0,1).错因分析在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方.正解函数yxln x的定义域为(0，)，又y1，令y10，得x1或x0(舍去)，所以函数yxln x的单调递增区间为(1，).令y10，得0x1，所以函数yxln x的单调递减区间为(0,1).防范措施在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.1.函数f(x)xln x在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数，在上是增函数D.在上是增函数，在上是减函数答案A解析x(0,6)时，f(x)10，函数f(x)在(0,6)上单调递增.2.f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x0时，f(x)0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，即f(x)为减函数；当x2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.3.若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A.1，) B.a1 C.(，1 D.(0,1)答案A解析f(x)3x22ax1，且f(x)在(0,1)内单调递减，不等式3x22ax10在(0,1)内恒成立，f(0)0，且f(1)0，a1.4.函数yx24xa的增区间为_，减区间为_.答案(2，)(，2)解析y2x4，令y0，得x2；令y0，得x2，所以yx24xa的增区间为(2，)，减区间为(，2).5.已知函数f(x)2ax，x(0,1.若f(x)在x(0,1上是增函数，则a的取值范围为_.答案解析由已知条件得f(x)2a.f(x)在(0,1上是增函数，f(x)0，即a在x(0,1上恒成立.而g(x)在(0,1上是增函数，g(x)maxg(1).a.当a时，f(x)1对x(0,1有f(x)0，且仅在x1时，f(x)0.a时，f(x)在(0,1上是增函数.a的取值范围是.判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)f(x2)的符号来确定函数的单调性.(2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.(3)导数法.利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：求f(x)；确定f(x)在(a，b)内的符号；确定单调性.求函数yf(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f(x)0和f(x)0所得的x的取值集合.反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f(x)0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值.同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题.一、选择题1.函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A.(，0) B.(0，)C.(，3)和(1，) D.(3,1)答案D解析求导函数得y(x22x3)ex.令y(x22x3)ex0，可得x22x30，3x1.函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1).2.已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(，)B.，C.(，)(，)D.(，)答案B解析由题意得f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，且仅在有限个点上f(x)0，则有4a2120，解得a.3.下列函数中，在(0，)内为增函数的是()A.ysin x B.yxe2C.yx3x D.yln xx答案B解析显然ysin x在(0，)上既有增又有减，故排除A；对于函数yxe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知yxe2在(0，)内为增函数；对于C，y3x213，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y1 (x0).故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选B.4.设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axb时，有()A.f(x)g(x)B.f(x)g(x)C.f(x)g(a)g(x)f(a)D.f(x)g(b)g(x)f(b)答案C解析f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在 a，b上是增函数，当axb时f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a).5.函数y的图象大致是()答案C解析yf(x)f(x)，yf(x)为奇函数，yf(x)的图象关于原点成中心对称，可排除B.又当x0时，f(x)，f(x)，当xe时，f(x)0，函数f(x)在(e，)上单调递减；当0xe时，f(x)0，函数f(x)在(0，e)上单调递增.故可排除A，D，而C满足题意.6.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)1f(x)，f(0)6，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0，) B.(，0)(3，)C.(，0)(1，) D.(3，)答案A解析由题意可知不等式为exf(x)ex50，设g(x)exf(x)ex5，g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10.函数g(x)在定义域上单调递增.又g(0)0，g(x)0的解集为(0，).二、填空题7.若函数f(x)2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_.答案解析显然函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x.由f(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k1，k1)上不是单调函数，所以k1k1，解得k，又因为(k1，k1)为定义域内的一个子区间，所以k10，即k1.综上可知，1k.8.函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_.答案2,3)9.函数yln(x2x2)的递减区间为_.答案(，1)解析f(x)，令f(x)0得x1或x2，注意到函数定义域为(，1)(2，)，故递减区间为(，1).10.若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_.答案3，)解析因为f(x)x2ax在上是增函数，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立.令h(x)2x，则h(x)2，当x时，h(x)0，则h(x)为减函数，所以h(x)h3，所以a3.三、解答题11.已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直.(1)求实数a，b的值；(2)若函数f(x)在区间m，m1上单调递增，求m的取值范围.解(1)函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，ab4.f(x)3ax22bx，则f(1)3a2b.由条件f(1)1，即3a2b9.由解得a1，b3.(2)f(x)x33x2，则f(x)3x26x.令f(x)3x26x0，得x0或x2.函数f(x)在区间m，m1上单调递增，m，m1(，20，)，m0或m12，m0或m3.12.已知函数f(x)axx2xln ab(a，bR，a1)，e是自然对数的底数.(1)试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)当ae，b4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k1)上存在零点.解(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.a1，当x(0，)时，ln a0，ax10，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.(2)f(x)exx2x4，f(x)ex2x1，f(0)0.当x0时，ex1，f(x)0，f(x)是(0，)上的增函数.同理，f(x)是(，0)上的减函数.又f(0)30，f(1)e40，f(2)e220，当x2时，f(x)0，当x0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，k1满足条件.f(0)30，f(1)20，f(2)20，当x2时，f(x)0，当x0时，函数f(x)零点在(2，1)内，k2满足条件.综上所述，k1或2.13.求下列函数的单调区间.(1)yln(2x3)x2；(2)f(x)aln x(a为常数).解(1)函数yln (2x3)x2定义域为.yln(2x3)x2，y2x.当y0，即x1或x时，函数yln(2x3)x2单调递增.当y0，即1x时，函数yln(2x3)x2单调递减.故函数yln(2x3)x2的单调递增区间为，；单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(0，).f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以当x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增.17