第一章三角函数(课堂学习设计).doc

第一章　三角函数
§1.1　任意角和弧度制
1．1.1　任意角

自主学习
知识梳理
1．角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按______________________形成的角

负角
按________________形成的角

零角
一条射线________________，称它形成了一个零角

2.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．
4．终边落在坐标轴上角的集合
终边所在的位置
角的集合
x轴正半轴

x轴负半轴

x轴

y轴正半轴

y轴负半轴

y轴

自主探究
终边落在各个象限的角的集合.
α终边所在的象限
角α的集合
第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

对点讲练
知识点一　终边相同的角与象限角
例1　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

回顾归纳　解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
变式训练1　判断下列角的终边落在第几象限内：
(1)1 400°；　(2)－2 010°.

知识点二　终边相同的角的应用

例2　已知，如图所示，

(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

回顾归纳　解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
变式训练2　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

知识点三　角的象限的判断

例3　已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置．

回顾归纳　若已知角α是第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论．考查角的终边的位置．
变式训练3　已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)
A．第一或第二象限　　　　 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少.

课时作业
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是(　　)
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在(　　)
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在(　　)
A．x轴的正半轴 B．x轴的负半轴
C．y轴的正半轴 D．y轴的负半轴
4．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)

A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}

二、填空题
6．经过10分钟，分针转了________度．
7．下列命题：
①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)
8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.

三、解答题
9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．

10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

第一章　三角函数
§1.1　任意角和弧度制
1．1.1　任意角

知识梳理
1．(1)一条射线　端点　旋转
(2)
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角

负角
按顺时针方向旋转形成的角

零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

2.第几象限角
3．α＋k·360°，k∈Z　整数个周角
4.
终边所在的位置
角的集合
x轴正半轴
{α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴负半轴
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
x轴
{α|α＝k·180°，k∈Z}
y轴正半轴
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴负半轴
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
y轴
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
自主探究
α终边所在的象限
角α的集合
第一
象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二
象限
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三
象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四
象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
对点讲练
例1　解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
变式训练1　解　(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．
(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．
例2　解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是
{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
变式训练2　解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．
(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．
例3　解　因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z.
所以2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．
因为k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，
所以k·180°＋45°<<k·180°＋90°，k∈Z，
所以当k＝2n，n∈Z时，
n·360°＋45°<<n·360°＋90°，
即的终边在第一象限；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°<<n·360°＋270°，即的终边在第三象限．
所以的终边在第一或第三象限．

变式训练3　D　[由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，
得·360°＋90°<<·360°＋135°.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．]
课时作业
1．C　2.A
3．A　[∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z.]
4．C　[可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]
5．C　[与边界终边相同的角为k·360°＋120°或k·360°－45°.故阴影部分的角为k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.]
6．－60
7．①③④⑤⑥
解析　①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．
②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确．
③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．
④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确．
⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．
⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确．
8．－110°或250°
解析　∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
9．解　(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，
∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.
(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，
∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.
(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，
∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．
由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：
k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：
－570°，－210°，150°，510°.
10．解　(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．
(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}
＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}
＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．

1.1.2　弧度制

自主学习

知识梳理
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝____ rad
2π rad＝____
180°＝______ rad
π rad＝______
1°＝______rad≈0.017 45 rad
1 rad＝____≈57.30°
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝________
l＝______
扇形的面积
S＝________
S＝________＝________
自主探究
我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．

对点讲练

知识点一　角度制与弧度制的换算

例1　(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成角度．

回顾归纳　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．
变式训练1　将下列角按要求转化：
(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；
(3)＝________度．

知识点二　利用弧度制表示终边相同的角

例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；　(2)；　(3)－4.

回顾归纳　在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．
变式训练2　将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．

知识点三　弧长、扇形面积的有关问题

例3　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

回顾归纳　灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．
变式训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
课时作业

一、选择题
1．与30°角终边相同的角的集合是(　　)
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
2．集合A＝与集合B＝{α|α＝2kπ±，k∈Z}的关系是(　　)
A．A＝B B．A⊆B
C．B⊆A D．以上都不对
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．sin 2
C. D．2sin 1
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于(　　)
A．∅
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9

二、填空题
6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
7．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.
8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.

三、解答题
9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

10. 如右图，已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长．

1.1.2　弧度制
答案

知识梳理
1．(1)　(2)半径长　1 rad
(3)|α|＝　终边的旋转方向　正数　负数　0
2.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
3.
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝αR2＝lR
自主探究
解　半径为r，圆心角n°的扇形弧长公式为l＝，
扇形面积公式为S扇＝.
∵＝，∴l＝|α|r.
∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.
∴S扇＝|α|r2＝lr.
对点讲练
例1　解　(1)∵112°30′＝112.5°＝°
＝×＝.
(2)－＝－×°＝－105°.
变式训练1　(1)　(2)－　(3)288
例2　解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°
＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
变式训练2　－10π＋
解析　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋.
例3　解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
变式训练3　解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，
∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
课时作业
1．D　2.A
3．C　[r＝，∴l＝|α|r＝.]
4．D　[集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．B　[设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋＝r＋2r＝3r.
∴S内切＝πr2.
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.]
6．25
解析　216°＝216×＝，
l＝30π＝α·r＝r，∴r＝25.
7.或
解析　－＋＝＝，
－＋＝＝.
8．－，－，，
解析　由题意，角α与终边相同，
则＋2π＝，
－2π＝－，－4π＝－.
9．解　(1).
(2).
(3).
10．解　设的长为l，半径OA＝r，
则S扇形＝lr＝2，

∴lr＝4， ①
设扇形的中心角∠AOB的弧度数为α，
则|α|＝＝4，
∴l＝4r， ②
由①、②解得r＝1，l＝4.
∴扇形的周长为l＋2r＝6 (cm)，
如图作OH⊥AB于H，
则AB＝2AH＝2rsin
＝2rsin(π－2)＝2rsin 2(cm)．

§1.2　任意角的三角函数
1．2.1　任意角的三角函数(一)
自主学习
知识梳理
1．任意角三角函数

(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的______，记作______，即sin α＝y；
②x叫做α的________，记作______，即cos α＝x；
③叫做α的______，记作______，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

3．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________，即：
sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，
tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.
自主探究
利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.
角α
0

π
π
π
π
π
sin α
0

1

0
－1
cos α
1

0
－
－
－
－1
0
tan α
0

1

无
－
－1
－
0
无

对点讲练

知识点一　利用定义求角的三角函数值

例1　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．

回顾归纳　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．
变式训练1　已知角θ的终边上一点P(x,3) (x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.

知识点二　判断三角函数值的符号

例2　判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
(2)sin 285°cos(－105°)；
(3)sin 3·cos 4·tan.

回顾归纳　准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．
变式训练2　(1)若sin αcos α<0，则α是第______象限角．
(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．

知识点三　诱导公式一的应用

例3　求下列各式的值．
(1)cos ＋tan；
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.

回顾归纳　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．
变式训练3　求下列各式的值．
(1)cos＋tan ；
(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.

1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.

课时作业
一、选择题
1．sin 390°等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
2．若sin α<0且tan α>0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1 B．0 C．2 D．－2
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为(　　)
A．3 B．－3 C．±3 D．5
5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是(　　)
A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ

二、填空题
6．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________.
7．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第______象限．
8．5sin 90°＋10 cos 180°－3 sin 270°＋4 cos 420°＝________.

三、解答题
9．已知角α的终边经过点(3m－9，m＋2)，且sin α>0，cos α≤0，求m的取值范围？

10．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．

§1.2　任意角的三角函数
1．2.1　任意角的三角函数(一)
答案

知识梳理
1．(1)①正弦　sin α　②余弦　cos α　③正切　tan α
(2)　　
3．相等　sin α　cos α　tan α
自主探究
解　以α＝为例，其余略．
设P(x，y)为α＝上一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上．
∴x＝0，y<0，r＝＝－y>0.
∴sin ＝＝－1；cos ＝＝0；tan ＝，无意义．
对点讲练
例1　解　r＝＝5|a|.
(1)若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
(2)若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
变式训练1　解　∵r＝，cos θ＝，
∴x＝.
∵x≠0，∴x＝±1.
∵y＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3；
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3.
例2　解　(1)∵α是第二象限角．
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0.
(2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0.
(3)∵<3<π，π<4<，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－＝－6π＋，∴tan>0，
∴sin 3·cos 4·tan<0.
变式训练2　(1)二或四　(2)负号
解析　(1)略
(2)∵<2<π，∴sin 2>0，
∵<3<π，∴cos 3<0，
∵π<4<，∴tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
例3　解　(1)原式＝cos ＋tan
＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
＝×＋×－1＝0.
变式训练3　解　(1)原式
＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)
＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°
＝－1＋1＋1－1＝0.
课时作业
1．D
2．C　[∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．
又tan α>0，∴α是一、三象限角，
故α是第三象限角．]
3．C　[∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.]
4．A　[r＝，cos α＝＝＝－.
∴b＝3.]
5．C　[∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ<<kπ＋，k∈Z.
当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0.
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，tan >0，
从而tan >0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值．]
6．－
解析　r＝＝13，∴sin α＝＝，
cos α＝＝，∴sin α＋cos α＝－.
7．四
解析　∵α为第二象限角，sin α>0，cos α<0，
∴P在第四象限．
8．0
解析　原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60°＝5－10＋3＋2＝0
9．解　∵sin α>0，cos α≤0.
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3m－9≤0且m＋2>0.
∴－2<m≤3.
10．解　sin α＝＝y.
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y≠0时，由＝，
解得：y＝±.
当y＝时，P，r＝.
∴cos α＝－，tan α＝－.
当y＝－时，cos α＝－，tan α＝.

1.2.1　任意角的三角函数(二)

自主学习

知识梳理
1．三角函数的定义域
函数的定义域是函数概念的三要素之一，对于三角函数的定义域要给予足够的重视，确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域如下表.
三角函数
定义域
sin α

cos α

tan α

2.三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示

正弦线
如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂
直x轴，有向线段______即为正弦线
余弦线
如上图，有向线段______即为余弦线
正切线
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α
终边的反向延长线于T，有向线段______即为正切线
自主探究
如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α<tan α.

对点讲练

知识点一　作出已知角的三角函数线

例1　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2)；(3).

回顾归纳　作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．
变式训练1　如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)

A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT

知识点二　利用三角函数线比较大小

例2　如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　)
A．cos α<sin α<tan α B．tan α<sin α<cos α
C．sin α<cos α<tan α D．cos α<tan α<sin α
回顾归纳　利用三角函数线比较三角函数值的大小，一般先作出正弦线、余弦线比较大小．然后作出正切线，一般与“1”进行比较．
变式训练2　若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是(　　)
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定

知识点三　利用三角函数线求函数定义域

例3　求函数f(x)＝＋ln的定义域．

回顾归纳　求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．
变式训练3　求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．

对三角函数线的理解
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础.

课时作业
一、选择题
1．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为(　　)
A. B. C. D.或
2．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为(　　)
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
3．sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为(　　)
A．sin 1>cos 1>tan 1 B．sin 1>tan 1>cos 1
C．tan 1>sin 1>cos 1 D．tan 1>cos 1>sin 1
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
5．若θ是第二象限角，则(　　)
A．sin >0 B．cos <0