导数--函数在某一点处的瞬时变化率.doc

选修2－2 导数及其应用
1.1.2 导 数 （总第49导学案）
——函数在某一点处的瞬时变化率
一、【教学目标】
1、理解并掌握导数的概念，会求函数在一点处的导数的方法。
2、了解导数的几何意义，会求函数在某点处的切线的斜率，进而求过此点的切线方程；
3、能灵活运用导数的定义及导函数的定义求解有关问题。
二、【重点】 1、导数的概念及其几何意义； 2、导数的应用。
三、【难点】 导数概念及灵活应用
四、【知识梳理】
1、导数的概念：
设函数在区间上有定义，，若时，（常数），则称在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作，即
2、求函数在点处的导数的算法：
S1 求函数的增量
S2 求平均变化率
S3 求瞬时变化率，即，，则
3、导数的几何意义（作图分析）： 就是曲线在点P处切线的斜率。
4、求函数在处切线方程的方法：
（1） 求曲线在该点处的切线的斜率（即求导数
（2） 点斜式写出方程，并化成一般式或斜截式。
5、导函数的概念：若对区间内任一点可导，即变化，则在各点的导数也随着的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为的导函数，记作，简称导数。
要特别记住： 瞬时速度是位移对时间t的导数，即；
瞬时加速度是速度对时间t的导数，即。
五、【典例分析】
例1：已知。 （1）求在x=1处的导数；
（2）求在x=a处的导数； （3）求

辨析：与，，的区别。

变1：与的含义有什么不同？ 与的含义有什么不同？
变2：在曲线上哪一点处的切线
（1）平行于直线； （2）垂直于直线；
（3）与x轴成的倾斜角

变3：（老题新解）在抛物线上找一点到距离最短？

变4：（1） 求曲线在点（1,3）处的切线方程？
（2） 求过点（3,7）且与曲线相切的直线方程。
（3） 求过点（1，1）且与曲线相切的直线方程。

例2：如图，曲线在点P处的切线方程
是，求。

变题：确定抛物线方程中的常数b,c，使抛物线与直线在x=2处相切。

随 堂 练 习 （导 数）
1、设，则函数在区间[1,2],[1,1.5],[1,1.1]上的平均变化率分别是
、 、 。函数在处的瞬时变化率是 。
2、如图A,B,C,D,E,F,G为函数图象上的点，
在点 处，曲线的切线斜率为0；
在点 处，斜率为正；
在点 处，斜率为负；
在点 处，斜率最大；
在点 处，斜率最小。

3、若，则 。
4、若，则 。
5、设一物体在ts内经过的路程为Sm，并且，试求物体分别在运动开始及第5秒末时的速度。

6、在抛物线上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

7、求函数，在处的导数。

8、已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。

9、已知曲线上一点P（），求过点P的切线斜率。

10、已知抛物线）经过点(1,1)，且在点（2，－1）处与直线相切，求2a+3b－c的值。

11、设,曲线在点P（）处切线的倾斜角取值范围为，求P到曲线对称轴距离d的变化范围。

12、已知曲线C：
（1）若直线与曲线C相切，求a的值；
（2）又P在曲线C上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的取值范围。