三角函数图像案例.docx

我校在2012年大力推广双层次问题教学。数学双层次教学法是将数学问题分为两个层次：基础层次的问题和迁移层次的问题。基础层次的问题一般难度较低，不需要教师引导，帮助，学生即可解决，这类问题应该放给成绩一般的学生去解决。而迁移层次的问题，教师则需要通过多种方式，让全体学生都投入到积极的思考与探索中。双层次问题教学法中的迁移层次问题，给学生提供大量的学习资源，教师在此基础上帮助引导学生观察，动手，讨论，形成有效的学习方式，提高学生对数学学科内在的学习兴趣和探索创新精神。
案例描述
本节课内容是人教A版数学必修4第一章第五节《函数y＝Asin(ωx+φ)的图象》第一课时，前面学生已经学习了正、余弦函数的图象和性质，在此基础上，这节课研究常见的函数类型：y＝Asin(ωx+φ)函数的图象.本节内容教材上从一个物理问题引入，根据从具体到抽象的原则，通过参数赋值，从具体函数的讨论开始，把从函数y=sinx的图像到函数y＝Asin(ωx+φ)的图像的变换过程，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想。在这节课中，我尝试着突出问题意识。在我的课堂教学中，努力以问题为主线，以学生熟悉的背景知识呈现问题，创设有利于学生自主学习的问题情境。
以下是课堂展示的一部分：
老师：从解析式的角度看，函数y=sinx和函数y＝Asin(ωx+φ)之间有什么关系？（问题引入）
学生：函数y=sinx就是函数y＝Asin(ωx+φ)在φ=0、ω=1、A=1时的情况。
老师：那么φ、ω、A 对函数y＝Asin(ωx+φ)的图像有什么影响呢？
我们先看个实际例子：图（1）是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象，图（2）是放大后的图象：

老师：它和正弦曲线很相似，你能发现它们的区别吗？
学生：最大值，周期，图像和两坐标轴的交点不一样。
老师：这些不一样是怎么造成的呢？
（引入问题，再结合实际例子，给学生一个直观印象，再回到数学中，激发学生探究的欲望）
I、探究φ对y=sin(x+φ)的图像的影响。
问题1：在同一坐标系下作出函数y=sinx；y=sin(x+π3) ；y=sin(x-π3 )在一个周期的图像。并观察它们相对位置的变化，你能从中发现三个函数图像间的关系吗？（基础层次）
（教师用几何画板动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的图像的相对位置，从而得出结论。）
学生：函数y=sin(x+π3)的图像可以由函数y=sinx的图像向左平移 π3个单位得到，函数y=sin(x-π3 )的图像可以由函数y=sinx的图像向右平移π3个单位得到。
老师：你能说出函数y=sin(x+φ)图像由函数y=sinx的图像通过怎样的变换得到吗？（迁移层次）
学生：把y=sin(x+φ)图像上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移｜φ︱个单位，就得到y=sin(x+φ)的图像．
教师：你能说出函数y=f(x+φ)图像由函数y=f(x)的图像通过怎样的变换得到吗？（深层迁移层次）
（设计意图：由特殊到一般的学习方法比较符合学生的认知规律，同时也培养了学生抽象概括能力。）
II、探索ω对y=sinωx的图像的影响。
问题1：在同一坐标系下作出函数y=sinx；y=sin2x；y=sin12x在一个周期的图像。并观察它们横坐标的变化，你能从中发现三个函数图像间的关系吗？（基础层次）
老师：你能说出函数y=sinωx图像由函数y=sinx的图像通过怎样的变换得到吗？（迁移层次）
教师：你能说出函数y=f(ωx)图像由函数y=f(x)的图像通过怎样的变换得到吗？（深层迁移层次）
Ⅲ、老师：由正弦函数与y=sinx图象如何变换得到函数y=sin（2x+π3）数的图象？（在前面的基础上，逐步对知识进行整合）
学生：（1）y=sinx→y=sin(x+π3)→y=sin（2x+π3）
学生：（2）y=sinx→y=sin2x→y=sin（2x+π3）
老师：这两种方法方法平移的单位相同吗？
（小组合做探究，教师作适当指导）
老师：你能把上述变换过程一般化吗？（迁移层次）
… … … …
设计意图：这部分内容是本堂课的难点，突破的方法先是从直观的“形”上“粉碎”了学生错误的直觉，使学生“一惊”！渴望知道其中原因，促使他们积极探寻。
学生总结第二种变换的规律, 对比两种变换过程，让学生总结方法。
有前面的学习方式，同学就能自主探索A对y=Asinx的图像的影响，学生在更进一步的问题中，积极思考，探究，从而在全员参与教学的环境下完成本节的教学任务。
这节课通过引导学生对函数y=sinx的图像到函数y＝Asin(ωx+φ)的图像的变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，由特殊到一般的划归思想；通过让学生自主探索对周期变换和相位变换先后顺序的调整而影响图像变换这一问题，使学生能够亲自动手，亲自体验，学会合作探究，使课堂气氛达到高潮，把学生学习热情充分的调动起来。形成了一个生动活泼的、主动参与的课堂氛围。
案例反思：
数学双层次问题教学法使教师可以更加尊重和欣赏学生，在迁移层次问题的研究中，教师会发现学生比我们想象的要更加聪明，更加智慧。而随着教师对学生的欣赏，学生会更加热爱数学，更加尊敬老师，改善了师生关系。双层次问题教学中的基础层次问题帮助学生明确学习的目标，迁移层次的问题给学生提供大量的学习资源，教师帮助学生利用资源，讨论，操作，设计，使课堂气氛活跃，学生思维发散，激发了学生进一步的探索与创新精神。让学生真正成为学习的主体。
在教学实践中，我体会到双层次问题教学最关键的是基础问题与迁移问题的设计。如何区别界定基础层次与迁移层次问题？探究什么问题有价值？从何种角度提问可以正确的引导学生？教师应该给学生提供什么样的学习资源？哪些问题可以讨论？哪些问题需要师生共同探究？问题的深浅如何把握？这些都是我在以后的教学实践中需要认真思考的问题。