函数的单调性与最值.doc

函数的单调性与最值
二、自我检测
1．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)
2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有f(a2＋1)________f(a)．(填“>”、“<”或“＝”)
3．下列函数在(0，1)上是增函数的是________(填序号)．
①y＝1－2x；②y＝；③y＝－x2＋2x；④y＝5.
4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a的取值范围是________．
5．当x∈[0，5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为______________________．
三、典型例题
探究点一　函数单调性的判定及证明
例1　设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．

探究点二　函数的单调性与最值
例2　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

变式迁移2　已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

探究点三　抽象函数的单调性
1,已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.

2.设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）
求证：（1）f（1）＝0；
（2）f（ ）＝－f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数.

变式迁移3　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.

学生作业
1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．
2．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围为________．
3．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围为________．
5．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，
且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．
6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．
①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数．
8．设0<x<1，则函数y＝＋的最小值是________．
9．已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

10．已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

11．已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：f(x＋)<f()；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

能力训练题
1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)=0根的个数
2.已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的 单调性是 
3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是
4.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c∈R，则a2-3b＜0时，f(x) 的单调性是
5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为
6．函数在[1,+∞递增,则a的取值范围是
7.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0，m］，值域为，则m的取值范围是 
8．函数在区定义域上是单调递减，且，则实数的
取值范围

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