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专题一 锐角三角函数
一、知识要点
1、锐角∠A的三角函数：
∠A的正弦：sinA = , ∠A的余弦：cosA = ,
∠A的正切：tanA = , ∠A的余切：cotA =
2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）；
3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A＜ ； ＜cos A＜ 。
4、sinA = cos（90°- ）； cosA = sin（ — ）
tanA =cot（ ）

二图1
（1）锐角三角函数的定义
例1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（　　）
A． B．
C． D．
图2

练习1、如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（　　）
A．4 B．
C． D．

练习2、在Rt△ABC中，∠C是直角，各边的长度都分别扩大2倍，那么∠A的三角函数值（　　）
A．没有变化 B．扩大2倍 C．缩小 2 倍 D．不能确定

例2、如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= ，BC=2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．

图3 图4 图5
练习3、如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（　　）
A． B． C． D．
练习4、如图5，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（　　）
A． B． C． D．
直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）
A． B．
C． D．

1、（2007扬州）正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）
A、 B、
C、 D、
2、（威海市2008年）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A、　　　 B、 C、 D、
3、（2007雅安）计算的值为______________。
4、已知∠A是锐角，且。
5、利用图形 计算tan15°

（2）解直角三角形
例1、有人说，数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高，如图，她测得BC=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为（　　）米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
A．7.7 B．8 C．6.4 D．12
练习1、聪聪放一线长125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角，他的风筝高为（　　）
A．125•sin39° B．125•cos39° C．125•tan39° D．125•cot39°

图1
例2、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图1所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　）
A．450a元 B．225a元
C．a元 D．300a元

练习2、如图2，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（　　）
图2
A．450a元 B．225a元
C．150a元 D．300a元

（2）仰角、俯角问题
例3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，求塔高。

练习3、如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离。

例4、、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离。

（4）坡度、坡角问题
例5、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1： （指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字， ≈1.732）．

练习、某水坝的坡度i=1：，坡长AB=20米，则坝的高度为（　　）
A．10米 B．20米 C．40米 D．米

三、巩固练习
1、如图5是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电
梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m．

图5 图6

2、某旅游风景管理区为了方便游客，计划修一条缆车道，缆车行驶路线（从A--＞B--＞C）及相关数据如图6所示，则缆车行驶路线长为 ．

3、（2007安徽）如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45°°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度。

四、能力提升
如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=4.8米，引桥水平跨度AC=8米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．
（参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．）

专题二 圆
圆的概念及垂径定理
练习1、如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD

图1 图2 图3
练习2、如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为 cm，则弦CD= 。
练习3(2014年贵州安顺，第10题3分)如图3，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
　 A． B． 1 C． 2 D． 2
25．（2014•四川泸州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．
4
B．

C．

D．

.（2014•呼和浩特，第6题3分）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（　　）

A．
3
B．
3
C．

D．

与圆有关的角
1、（2014•湖北荆门,第6题3分）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）

　 A．∠ACD=∠DAB B． AD=DE C． AD2=BD•CD D． AD•AB=AC•BD
2、（2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（　　）

A．

B．

C．
4
D．
3
3、(经典)已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD 上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．
（1）求证：AC丄BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

4、、如图，⊿ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长
DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD= CD
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｏ

提高练习1、（2014•孝感，第10题3分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③∠AOB=60④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　）

A．
①③
B．
①②③④
C．
②③④
D．
①③④

2、(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　　．
[来
3、己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；

（数学综合题，常见长沙中考24题）. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图. 若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.

直线与圆的位置关系-
三角形与圆
确定圆的条件
不在 直线的三个点确定一个圆.
三角形的外心
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆， 的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形 的距离相等.
三角形的内心
与三角形各边都相切的圆叫三角形的 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形 的距离相等.

练习1、如图1，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14

图1 图2 图3 图4
练习2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=，那么∠AOB等于（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
练习3、如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为 。

练习4、如图4，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）
A．12 B．24 C．8 D．6

练习5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a，b，c，则三角形的内切圆半径为 。

典型例题
1、如图，AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=，求AE的长．

2、（2014•呼和浩特，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

3、（2014•孝感，第24题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．

、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O切线；
（2）若tan∠ABE=，求sin∠E．

跟综练习、如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF 的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=，∠CAD=30°时．求弧AD 的长．

练习、如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延长C0交斜边AB于点G．
（1）求⊙0的半径长；
（2）求线段DG的长．

三、巩固提高练习
1. 如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO
P
O
A
·
等于（　　）
A． B． C． D．
O2
O3
O1
2. 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径，⊙O2的半
径，⊙O3的半径，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形

3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为 ．
4. 已知，⊙的半径为，⊙的半径为，且⊙与⊙相切，则这两圆的圆心距为___________．
第21题图
5、（2013·兰州中考）如图，直线ＭＮ 交⊙O于Ａ，Ｂ 两点，ＡＣ是直径，ＡＤ 平分∠ＣＡＭ 交⊙O于点Ｄ，过点Ｄ 作ＤＥ⊥ＭＮ 于点Ｅ.
（1）求证：ＤＥ是⊙O的切线.
（2）若ＤＥ＝6 cm，ＡＥ＝3 cm，求⊙O的半径w W w .x K b 1.c o M

6、如图,△ABC 内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB，CD与OA的延长线交于点D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由；(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长.

O
A
E
C
D
B

7、如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）求证：为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，，求的长．