锐角三角函数.docx

锐角三角函数（一）知识点1 正弦和余弦的定义 如图所示，在锐角A的终边上分别取点B1，B2，B3，过B1，B2，B3，分别作B1C1，B2C2，B3C3，垂直于锐角A的始边，垂足分别为C1，C2，C3，。B1C1AC1，B2C2AC2，B3C3AC3，B1C1/B2C2/B3C3/，AB1C1AB2C2AB3C3，B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB3=定值，AC1AB1=AC2AB2=AC3AB3=定值， 由可知，当锐角A固定时，A的对边与斜边的比值是一个固定值，A的邻边与斜边的比值也是一个固定值。 如图所示，在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA=A的对边斜边=ac 在RtABC中，C=90，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即cosA=A的邻边斜边=bc【知识拓展】理解正弦和余弦的定义要注意以下三点：（1）在直角三角形中，只要锐角确定了，它的对边与斜边的比值或邻边与斜边的比值就确定了，这个比值是一个定值，可以用它去研究直角三角形两边的关系。（2）一般地，当0A90时，sinA的值随A的增发而增大。（3）在RtABC中，C=90，由于直角边一定比斜边短，所以BCAB1，ACAB1，因此可以推出0sinA，0cosA1。例1 在RtABC中，C=90，a =22，b=1，则sinA=_，cosA=_。【针对性训练1】在ABC中，AB=AC=13，BC=10，求sinB的值。知识点2 0，30，45，60，90角的正弦值和余弦值 如图（1）所示，在RtABC中，C=90，A=30，设BC=R，由直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，可知AB=2R，由勾股定理可知AC=AB2-BC2=(2R）2-R2=3R，故sin30=BCAB=R2R=12，cos30=ACAB=3R2R=32。由A+B=90，可知B=60，所以sin60=ACAB=3R2R=32，cos60=BCAB=R2R=12。如图（2）所示，在RtABC中，C=90，A=45，设BC=R，由A+B=90，可知B=45，所示AC=BC。由勾股定理可知AB=AC2+BC2=2R，故sin45=ACAB=R2R=22，cos45=BCAB=R2R=22。列表如下：度数三角函数 030456090sin01222321cos13222120【知识拓展】记忆特殊角的三角函数（正弦、余弦）值有如下方法：（1）图形记忆法，根据特殊角所在的三角形来记。（2）列表记忆，如上表。（3）规律记忆法，30，45，60的正弦值的分子依次是1，2，3，分母都是2，而相应的余弦值的分母都是2，分子依次是3，2，1。例2 求下列各式的值。（1）2sin45+sin30cos60；（2）2+1cos90-sin60-1-3+12-cos 0+-13。【针对性训练2】4cos30sin60+（-2）-1-（2009-2008）0=_。知识点3 互余两角的正弦和余弦的关系 观察等式：sin30=cos60=12，cos30=sin60=32，cos45=sin45=22。不难发现上述等式有如下特点：三角函数名称互换，三角函数值相等。 上述规律我们可以推广到任意锐角。任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sinA=cos（90A）。任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cosA=sin（90A）。【易错点津】对公式sinA=cos(90A)和cosA=sin（90A）的理解要注意；A为锐角；在RtABC中，C=90，A的邻边与斜边的比，实际上就是B（即90A）的对边与斜边的比。例3 若cos550.5736，则sin35+0.4264=_。【针对性训练3】化简下列各式。（1）1sin70+cos20； （2）2sin103cos80知识点4 同角的正弦和余弦的关系同一个锐角的正余弦的平方和等于1sin30=12，cos30=32，sin230+cos230=（12）2+（32）2=1sin45=22，cos45=22，sin245+cos245=（22）2+（22）2=1sin60=32，cos60=12，sin260+cos260=（32）2+（12）2=1观察上面的等式，猜想对于任意的锐角都有sin2+cos2=1在RtABC中，已知C=90，设A=，sin=BCAB，cos=ACAB，sin2+cos2=BC2AB2+AC2AB2=AC2+BC2AB2又由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，sin2+cos2=AB2AB2=1，于是有sin2+cos2=1为锐角。【拓展应用】sin45=22，cos45=22，sin45=cos45，当045时，sin22，此时sincos，当4522，而coscos。【易错点津】对公式sin2+cos2=1（为锐角）的理解与应用要注意；sin2代表的含义是sin的平方（即比值的平方），书写格式应为sin2，而不是sin2。例4 化简cos21+cos22+cos289。【针对性训练4】若为锐角，且sin250+sin2=1，则=_。知识点5 锐角的正弦值、余弦值的增减性由特殊角的三角函数值，我们知道：sin0sin30sin45sin60cos30cos45cos60cos90观察上述两个不等式，我们不难发现下列规律：（1）锐角的正弦值随着的增大（减小）而增大（减小）。（2）锐角的余弦值随着的增大（减小）而减小（增大）。该规律用数学语言表示为（090，0，则sinsin，coscos。（2）若，则sincos。【方法归纳】充分利用正、余弦函数的增减性，正确比较角的正、余弦值，牢记当为锐角时，cos与sin的增减性是相反的，即当增大时，sin增大而cos减小，两者在=45时相等。例5 化简下列各式。（1）sin36sin42 ；（2）cos25cos47；【针对性训练5】若A是锐角，且cosA=34，则（ ）。A0A30 B.30A45C45A60 D.60A90例6如图所示，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴，另一边OA上有一点P（3，4），则sin=_.综合应用例7 已知sincos=18，求cos-sin的值。例8 在RtABC中，C=90，斜边长c=5，两条直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求RtABC中较小锐角的正弦值。例9 如图所示，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得DAN=35，然后沿河岸走了120米到达B处，测得CBN=70，求河流的宽度CE。（结果保留两个有效数字，sin350.57，cos350.82， tan350.70，sin700.94，cos700.34，tan702.75）例10 三角函数中有常用公式：sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，利用该公式可以求sin（A+B）的值。例如：sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30=22322212=6+24，试用公式cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB，求cos75的值。例11 水务部门为加强防汛工作，决定对程家水库进行加固。原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，B=60，背水面DC的长度为103米，加固后大坝的横断面为梯形ABED。若CE的长为5米。（1）已知需要加固的大坝长为100米，求需要填土方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度。（计算结果保留根号）例12 已知a，b，c分别是ABC中，A，B，C的对边，关于x的一元二次方程a1-x2+2bx+c1+x2=0有两个相等的实数根，且3 c=a+3b。（1）判断ABC的形状；（2）求sinA+sinB的值。例13 在ABC中，B=90，BC=4，AB=5，求sinA和cosA。例14 已知为锐角，4sin23=0，求sin的值。例15 在ABC中，C=90，cosA=32，AC=43，求BC的长。例16如图所示，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=8。（1）若ACBD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角AOD=60，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且AOD=，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积。（用含，a，b的代表式表示）学习质量测控1、在RtABC中，若C=90，a，b，c分别是A，B，C的对边，如果sinAsinB=23，那么ab等于（ ）。A.23 B.32 C.49 D.942、如图所示，先锋村准备在坡度为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么相邻两树的坡面上的距离AB为（ ）。A.5cos米 B.5cos米 C.5sin米 D.5sin米 3、如图所示，在梯形ABCD中，AD/BC，ACAB，AD=CD，cosDCA=45，BC=10，则AB的值是（ ）。A.9 B.8 C.6 D.34、在ABC中，C=90，BC=6cm，sinA=35，则AB的长是_cm。5、在ABC中，若A：B：C=1:2:3，则sinA=_，cosB=_。6、如图所示，在ABC中，B=45，cosC=35，AC=5a，则ABC的面积用含a的式子表示是_。7、计算（1）22cos45-sin60+244（2）12+2sin608、如图所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sinBOA=35（1）求点B的坐标；（2）求cosBAO的值。9、如图所示，在平面直角坐标轴中，点A（x1，-3）在第三象限，点B（x2，-1）在第四象限，线段AB与y轴交于点D，AOB=90。（1）当x2=1时，求图象经过A，B两点的一次函数的解析式；（2）当AOB的面积等于9时，设AOD=，求sincos的值。锐角三角函数（二）知识点1 正切的定义 如图所示，在锐角A的一边上分别取点B1，B2，B3，过B1，B2，B3，分别作B1C1AC1，B2C2AC2，B3C3AC3，垂足分别为C1，C2，C3，。B1C1/B2C2/B3C3/，AB1C1AB2C2AB3C3，B1C1AC1=B2C2AC2=B3C3AC3=定值。 可以看出，当锐角A固定时，A的对边与邻边的比值是一个固定值，于是可得：在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA=A的对边A的邻边=ab【知识拓展】（1）锐角的正切值是一个比值。（2）当锐角不变时，正切值是定值。（3）锐角的正切值和角的两边的长短无关。例1 在RtABC，若C=90，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=5，c=13，则tanA=_。【针对性训练1】已知在RtABC中，C=90，sinA=45，tanB的值为（ ）。A.43 B.34 C.35 D.45知识点2 锐角三角函数的概念 如图所示，在RtABC中，C=90，A，B，C的对边分别为a，b，c，则有sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，我们把锐角A的正弦、余弦、正切叫做A的锐角三角函数。【知识拓展】（1）锐角三角函数值和角的大小有关，和角的两边的长短无关。（2）当锐角不变时，这个锐角的三角函数值也不变。（3）锐角三角函数的自变量都是角度，锐角的正、余弦值的取值范围是带大于0小于1，锐角正切值的取值范围是全体正实数。例2 在RtABC中，已知C=90，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，c=10，求sinA，cosA，tanA。【针对性训练2】在RtABC中，已知C=90，A，B，C的对边分别是为a，b，c，且a=40，c=41，求sinB，cosB，tanB的值。知识点3 0，30，45，60，90角的正切值列表如下：度数三角函数030456090tan03313不存在例3计算tan45-cos60tan60知识点4 tan，sin，cos之间的关系 在RtABC中，C=90，A=，则sin=BCAB，cos=ACAB，tan=BCAC，所以sincos=BCACABAC=BCAC，所以tan=sincos例4 已知tan=2，求sin+cossin-cos的值。【针对性训练4】已知tan=12，求2sin-3cos3sin+2cos的值。知识点5 正切的增减性 由tan0=0，tan30=33，tan45=1，tan60=3可知锐角的正切值随的增大（减小）而增大（减小）。用数学语言表示为：已知锐角A和B，若AB，则tanAB，则tanAtanB。【知识拓展】（1）同一锐角的正弦值小于正切值。（2）因为锐角的正切值随角度的增大而增大，所以当A45时，tanA1；当A45时，tanA1。（3）在锐角的三角函数中，正弦与正切虽然都是增函数，但正弦值有界在0到1之间，而正切值，大于0无界，并且同一锐角的正切值大于正弦值。例5 若A为锐角，且tanA=53，则（ ）A.0A30 B.30A45C45A60 D. 60A90【针对性训练5】若A为锐角，化简tan220-2tan20tan40+tan240知识点6 用计算器求三角函数值，已知三角函数值求角 利用计算器求锐角三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同，下面以科学计算器为例来说明计算器的用法。 在计算器上先按三角函数键（sin或cos或tan），再按角的度数，最后按=键，屏幕上就会显示结果。若角的度数以度为单位，则可直接按角的度数，若角的度数的单位以度、分、秒的形式出现，则应按再计算。已知锐角三角函数值求锐角的操作方法是先按功能键2ndF，再按三角函数键（sin或cos或tan），最后按三角函数值，屏幕上就会显示出以度为单位的值。例6 用计算器求下列函数值。（前三题保留四位有效数字，第四题保留到整数）(1)sin50； （2）cos23.57；（3）tan321624； （4）tanA=0.5773，求A的度数。【针对性训练6】用计算器求下列函数值。（1）sin23；（保留四位有效数字）（2）sin=0.6031，求；（精确到分）（3）tan545340。（保留四位有效数字）例7 （1）求3tan30+tan45+cos0+2sin602tan45的值；（2）求sin245+tan60sin60的值；（3）若（tanA3）2+（tanB33）2=0，A，B，C为ABC的内角，试确定三角形的形状。例8 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ）。A. 247 B. 73 C.724 D.13例9 先化简再要求代数式2a+1+a+2a2-1aa-1的值，其中a=tan60-2sin30。例10 已知090，且关于x的方程x2-2xtan-3=0的两个根的平方和等于10，求以tan，1sin为根的一元二次方程。例11 如图所示，在RtABC中，C=90，AC=3，点D为BC上的一点，且BD=2AD，ADC=60，求ABC周长。（结果保留根号）例12 （1）用计算器求sin40与2sin20cos20的值，你能发现sin40与2sin20cos20的大小关系吗？（2）请你写出类似的式子，并用计算器验证。一般地，你能得到怎样的式子?请用符号语言和文字语言叙述你的结论；（3）根据你的结论解答：若sin16=a，cos16=b，求sin32的值。例13 用几何方法求tan15的值。例14 在RtABC中，如果各边都扩大到原来的2倍，那么锐角A的正切值（ ）。A.没有变化 B.扩大到原来的2倍C缩小到原来的12 D.不能确定例15 在ABC中，C=90，化简1-2sinAcosA例16 计算2cos60+2sin30+4tan45例17 如图所示，在Rt ABC中，CAB=90，AD是CAB的平分线，tanB=12，求CDBD的值。学习质量测控1、已知A为锐角，且tanA=2，则A的取值范围是（ ）。A.0A30 B.30A45C.45A60 D. 60A902、如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）。A.AD=BC B.EBD=EDBC. ABECBD D.sinABE=AEED 3、若tan=1，则2sin-cos2sin+cos=_。4、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC/AD，迎水坡AB长13米，且tanBAE=125，则河堤的高BE为_米。5、计算（1）cos60-sin90tan60+cos30+2sin245；（2）sin30sin60-cos45-1-cos302-tan456、如图所示，在RtABC中，C=90，D是BC的中点，DEAB于E，tanB=12，AE=9，求DE的长。7、如图所示，在ABC中，C=90，点D，E分别在AC，AB上，BD平分ABC，DEAB于E，AE=6，cosA=35（1）求DE，CD的长；（2）求tanDBC的值。8、如图所示，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，且交x轴于点C，交y轴于点D。（1）求一次函数的解析式（2）求tanOCD的值；（3）求证AOB=135。2.解直角三角形（一）知识点1 解直角三角形的概念 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。【知识拓展】（1）三角形有六个元素，分别是三条边和三个 内角。（2）除直角外，如果知道两个元素（其中至少一个是边），这个三角形就可以确定下来，故解直角三角形的类型有两类：已知一边一角；已知两边。例1 在RtABC中，C=90，CDAB于D，ACD=30，对RtABC来说，未知元素有_个，分别是_。若要解RtABC，还需知道一个_的条件。【针对性训练1】在RtABC中，C=90，ACBC=12，该三角形的未知元素有_个，这个三角形_解。（填“能”或“不能”）知识点2 解直角三角形的理论依据 解直角三角形的理论依据是指三角形中的两角关系、三边关系、边与角的三角函数关系。在RtABC中，C=90，a，b，c分别为A，B，C的对边，则有如下关系。（1）锐角之间的关系：A+B=90。（2）三边之间的关系：a2+b2=c2。（3）边角之间的关系：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，sinB=bc，cosB=ac，tanB=ba。【知识拓展】（1）锐角之间的关系由三角形的内角和定理可得（2）三边之间的关系由勾股定理可得。（3）边角之间的关系由锐角三角函数的定义可得。例2 在RtABC中，C=90。若A=30，则B=_；若A=30，且a=1，则b=_，c=_。【针对性训练2】在RtABC中，C=90，若A=45，则B=_；若A=45，且a=1，则b=_，c=_。知识点3 解直角三角形的基本类型和方法解直角三角形有四种基本类型：（1）已知斜边和一条直角边；（2）已知两条直角边：（3）已知斜边和一个锐角；（4）已知一条直角边和一个锐角。 解直角三角形的方法如下。已知条件未知条件解法步骤a，cb，A，B由sinA=ac，求A；由B=90A，求B；由b=c2-a2，求bb，ca，A，B由sinB=ac，求B；由A=90B，求A；由a=c2-b2，求aa，bc，A，B由c=a2+b2，求c；由tanA=ab，求A；由B=90A，求BA，cB，a，b由B=90A，求B；由sinA=ac，求a；有cosA=bc，求bB，cA，a，b由A=90B，求A；由cosB=ac，求a；由sinB=bc，求bA，aB，b，c由B=90A，求B；由tanA=ab，求b；有sinA=ac，求cA，bB，a，c由B=90A，求B；由tanA=ab，求a；有cosA=bc，求cB，aA，b，c由A=90B，求A；由tanB=ba，求b；由cosB=ac，求cB，bA，a，c由A=90B，求A；由tanB=ba，求a；由sinB=bc，求c【知识拓展】（1）在直角三角形中，已知其中一边，只需再知其余四个元素中任意一个便可解该直角三角形。（2）已知两个角不能解直角三角形，因为此时不能确定其边的大小。例3 根据下列条件解直角三角形（1）在RtABC中，C=90，c=83，A=60；（2）在RtABC中，C=90，b=7.234，A=720。例4 如图所示，在ABC中，A=30，tanB=32，AC=23，求AB的长。例5 如图所示，在RtABC中，ACB=90，AB边上的高CD把AB边分成52，152两部分，解这个直角三角形。例6 如图所示，在菱形ABCD中，AEBC于E，EC=1，sinB=513，求四边形AECD的周长。例7 关于x的方程5x2-10xcos-7cos+6=0有两个相等的实数根，求边长为10cm且两边所夹的锐角为的菱形的面积。例8 台风是一种自然灾害，在它的中心周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。根据观测，距某沿海城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心（如图所示），其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米风力就会减弱一级。该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C处移动，且台风中心的风力不变。该城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响。（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由；（2）该城市若受到台风的影响，将持续多长时间？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？例9如图所示，在ABC中，B=60，BA=24cm，BC=16cm，现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动，同时动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当点P运动到点B时，P，Q都停止运动。（1）当点P出发几秒后，PBQ的面积是ABC面积的一半？（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？例10 如图所示，已知17cosA+13cosB=17，17sinA=13sinB，且A，B都是锐角，求A2+B的度数。例11在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离。现测得AC=30m，BC=70cm，CAB=120，请计算A，B两个凉亭之间的距离。例12 如图所示，在ABC中，AB=1，AC=2，sinB=24，求BC的长。例13 如图所示，广房顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m，B=36，求中柱AD（D为底边中点）和上弦AB的长。（结果保留到小数点后两位）例14 如图所示，在梯形ABCD中，AD/BC，B=90，C=45，AD=1，BC=4，E为AB的中点，EF/DC于点F，求EF的长。学习质量测控1、ABC中，若AB=AC，BC=10cm，SABC=2533cm2，则顶角的度数为（ ）。A.120 B.150 C.60 D.302、如图所示，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯。若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（ ）。A2cm B.43cm C.6cm D.8cm 3、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AOD=120，AB=2.5，则AC的长为_。4、某梯子与地面所成的角满足4560时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6米的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上_米高的墙。5、如图所示，某市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角为ACB，且sinACB=35，则坡面AC的长度为_m。6、如图所示，在四边形ABCD中，B=D=90，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的长。7、如图所示，在离水面高度为5m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30，此人以每秒0.5m收绳。（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？（2）收绳8秒后，船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）解直角三角形（二）知识点1 仰角、俯角 如图所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把视线OA与水平线OC形成的AOC称为仰角，把视线OB与水平线OC形成的BOC称为俯角，于是有：当视线在水平线的上方时，视线和水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线的下方时，视线和水平线所成的角叫做俯角。【知识拓展】理解仰角、俯角的概念要注意以下两点：（1）仰角、俯角中都有一条水平线并且这条水平线与实际问题中的建筑物垂直。（2）由实际问题转化为几何图形问题时，常常将水平线中的线段和建筑物的高作为直角边。例1 如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，从B沿着BC方向向前走1000m到达D处，又测得山顶A的仰角为45，求山的高度。【针对性训练1】如图所示，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60，看这栋高楼底部的俯角为30，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：31.73）知识点2 坡角、坡度 如图所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的ABC称为坡角。 一般地，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度，我们把坡面的铅垂高度与水面宽度的比称为坡度，也叫做坡比，用i表示，即i=ACBC【知识拓展】（1）坡度一般写成1：m的形式（比的前项是1，后项可以是整数也可以是小数或根式）。（2）坡度i和坡度的关系式为i=tan（3）解决实际问题时，常常利用坡角构造直角三角形。（4）坡角越大，坡度越大，坡面越陡。例2 一辆汽车从B处爬30米的斜坡到达A处，若坡度i=3：3，求坡角和汽车上升的高度h。【针对性训练2】如图所示，河堤的横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD的坡比为1：3，斜坡CB的坡角为45，则河堤的横断面的面积为（ ）A.96m2 B.48m2C.192m2 D.84m2 知识点3 方位角、方向角 从某点的正北方向按顺时针方向旋转到目标方向形成的角叫做方位角。从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90的角叫做方向角。如图（1）所示，目标方向OA表示的方位角为50，目标方向OB表示的方位角为110，目标方向OC表示的方位角为230。如图（2）所示，目标方向OA表示的方向角为北偏东35，目标方向OB表示的方向角为南偏东75，目标方向OC表示的方向为南偏西45，也称西南方向，目标方向OD表示的方向角为北偏西40。【知识拓展】解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向构造直角三角形求解。例3 如图所示，有一艘船向东航行，上午9时，在灯塔A的西南方向与灯塔A相距60km的B处，上午11时到达灯塔A的正南方向的C处，则此船航行的速度是多少？【针对性训练3】如图所示，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60方向当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离（结果保留根号）例4 如图所示，在斜坡AC的坡比为1：3，AC=10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点用一条彩带AB相连，AB=14米，试求旗杆BC的高度。例5 如图所示，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22方向航行了10海里到达C处，这时从码头A测得小船在码头北偏东23的方向上，求此时小船与码头之间的距离。（21.4，431.7，结果保留整数）例6 如图所示，线段AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBC，DCBC，从B点测得D点的仰角为60，从A点测得D点的仰角为30，已知甲建筑物高AB=36米。（1）求乙建筑物的高DC；（2）求甲，乙两建筑物之间的距离BC。（结果精确到0.01米，参考数据：21.414，31.732）例7 在一次测量活动中，同学们要测量某公园湖的码头A与它正东方的亭子B之间的距离，如图所示，他们选择了码头A和亭子B在同一水平面上的点P，在点P处测得码头A位于点P的北偏西30方向，亭子B位于点P北偏东43方向；又测得点P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上测得的数据求出码头A与亭子B之间的距离。（结果精确到1米，参考数据：3 1.732，tan,430.933）例8 如图所示，在ABC中，CAB=90，AB=AC=1，D是AB上的一点，且DEBC，垂足为E，直角边ED交直角边CA的延长线于F，则D在AB边上的何处时，ADF与BDE的面积之和最小？并求出它的最小值。例9 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30和60（如图所示），试确定生命所在点C的深度。（结果精确到0.1米，参考数据：21.41，31.73）例10 如图所示，为了测量一条河的宽度，测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向上，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60的方向，求河的宽度？（结果保留根号）。例11 如图所示，两建筑物的水平距离BC为32.6m，从A点测得D点的俯角为3512，测得C点的俯角为4324，求这两个建筑物的高度。（结果保留小数点后一位）例12 在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在地面C处测得条幅顶端A的仰角为50，测得条幅底端E的仰角为30度问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（结果精确到整数，tan501.192，31.732）学习质量测控1、如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得AC=50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）。A.25米 B.253米C10033米 D.25(1+3)米2、如图所示，王师