大学物理课后题答案.doc

第一章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3试求：（1）第2s内的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度解答（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第2s末的位移大小为x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第2s内的位移大小为x = x(2) x(1) = 4(m)，经过的时间为t = 1s，所以平均速度大小为=x/t = 4(ms-1)（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)，v(2) = 122 - 622 = 0，质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即s = x = 4m（3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 121 = 0，第2s内的平均加速度为= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2)注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍试证加速度为并由上述数据求出量值证明依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t， (1)根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得a = (n2 1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式证得计算得加速度为= 0.4(ms-2)1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5的夹角的初速度65ms-1从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10ms-2问：70m22.5图1.3（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解答方法一：分步法（1）夹角用表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为= 4.49(s)因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)他飞越的水平速度为vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为 = arctan(vy/vx) = 49.30，方向斜向下方法二：一步法取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)由此可以求解其他问题1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为证明（1）分离变量得，积分 ，可得 （2）公式可化为，由于v = dx/dt，所以积分 因此 证毕讨论当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma由于a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程，解方程即可求解在本题中，k已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt = -kvn（1）如果n = 1，则得，积分得lnv = -kt + C当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e-kt而dv = v0e-ktdt，积分得当t = 0时，x = 0，所以C = v0/k，因此（2）如果n1，则得，积分得当t = 0时，v = v0，所以，因此如果n = 2，就是本题的结果如果n2，可得，读者不妨自证1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度为 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度为 at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即由此得，即 ，解得 所以=3.154(rad)（3）当at = an时，可得r = r2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)yxOv0aaxayv0xv0y1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300ms-1，方向与水平线夹角为30而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20ms-2，方向与水平前进方向夹角为30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解答建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x = v0cos， v0y = v0sin加速度的大小为ax = acos， ay = asin 运动方程为，即 ， 令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去）；(s)将t代入x的方程求得x = 9000m 注意选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果RA图1.71.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在t = 2.0s内下降的距离h = 0.4m求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度由于，所以at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(ms-2)1.8 一升降机以加速度1.22ms-2上升，当上升速度为2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解答在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为= 0.705(s)算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离1.9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为证明（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为 ABABvv + uv - uABvuuvv（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为 证毕v1hlv2图1.101.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为，偏向于汽车前进方向，速度为v2今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？v1hlv2v3v解答雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形根据题意得tan = l/h方法一：利用直角三角形根据直角三角形得v1 = v2sin + v3sin，其中v3 = v/cos，而v = v2cos，因此v1 = v2sin + v2cossin/cos，即 证毕方法二：利用正弦定理根据正弦定理可得，所以 ，即 方法三：利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为l = (v1 v2sin)t，h = v2cost两式消去时间t即得所求 证毕第3章 狭义相对论3.1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？解答地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4106(m)，自转一圈的时间是T = 246060(s) = 8.64104(s)，赤道上钟的线速度为v = 2R/T = 4.652102(ms-1)将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为SA钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S系的运动时同理，B钟指示S系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时方法一：以S系为准在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时t=50108365246060=1.57681016(s)B钟在S中的位置不变的，指示着本征时tA钟的运动时t和B钟的本征时t之间的关系为，可求得B钟的本征时为，因此时间差为 =1.898105(s)在南极上看，赤道上的钟变慢了方法二：以S系为准在S系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时t=50108365246060=1.57681016(s)A钟在S中的位置不变的，指示着本征时tB钟的运动时t和A钟的本征时t之间的关系为，可求得A钟的本征时为，因此时间差为 =1.898105(s)在赤道上看，南极上的钟变慢了注意解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式有人直接应用公式计算时间差，由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，t是B钟的本征时，t是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题3.2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为若将这个光钟横放在一个以速度行驶的火车上，使两镜面都与垂直，两镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”与0的关系怎样？解答不论两个“光钟”放在什么地方，0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间是运动时，所以它们的关系为3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S中观察，B晚于A5s发生，求S系中A和B两事件的空间距离？解答在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差t = 4s是本征时，而S系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，t = 5s是运动时，根据时间膨胀公式，即 ，可以求两系统的相对速度为v = 3c/5在S系中A和B两事件的空间距离为l = vt = 3c = 9108(m)3.4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为，S系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S系中观察到杆子与x轴的夹角若何？解答直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx = lcos和ly = lsin在S系中观察直杆在y方向上的长度不变，即ly = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得，因此，可得夹角为3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S系中这两个事件的时间间隔解答根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式， （1）由题意得：t = 0，x = 1m，x = 2m因此，（2）由（2）之上式得它们的相对速度为 （3）将（2）之下式除以（2）之上式得，所以= -0.57710-8(s)注意在S系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔x = 2m可以大于间隔x = 1m如果在S系中观察到两事件也是同时发生的，那么x就表示运动长度，就不可能大于本征长度x，这时可以用长度收缩公式，计算它们的相对速度3.6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？解答以地球为S系，则t = 10s，x = 100m根据洛仑兹坐标和时间变换公式和，飞船上观察运动员的运动距离为-4109(m)运动员运动的时间为16.67(s)在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4109m3.7 已知S系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s求S系中测得的这两件事的时间和空间间隔解答根据洛仑兹变换可得S系的时间间隔为6.67(s)空间间隔为-1.6109(m)3.8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？解答在S系中的观测的杆长l = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S，其长度是本征长度，根据尺缩效应，可得杆的本征长度为= 50.25(m)另一参考系设为S系，相对S系的速度为v20 = -0.8c在S系观察S系的速度为= 0.99796c在S系观察S系中的杆的长度是另一运动长度= 3.363(m)注意在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S相对S系的速度，用v12表示S系相对S系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆3.9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？解答两者相撞的时间间隔t = 5s是运动着的对象飞船和慧星发生碰撞的时间间隔，因此是运动时在飞船上观察的碰撞时间间隔t是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为= 4(s)v=uOx地球星光ycSSxyuy-u太阳3.10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何解答方法一：用速度变换取太阳系为S系，地球为S系在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为ux = 0，uy = c星光在S系中的速度分量为星光在S系中的速度为，即光速是不变的星光在S系中与y轴的夹角，即垂直地面的夹角为方法二：用基本原理根据光速不变原理，在地球的S系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x轴的分量为uy = -u，所以星光速度沿y轴的分量为，从而可求出星光速度垂直地面的夹角为注意解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4题中的甲飞船3.11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？解答（1）粒子的非相对论动能为Ek = m0v2/2，相对论动能为Ek = mc2 m0c2，其中m为运动质量根据题意得，设x = (v/c)2，方程可简化为，或 ，平方得1 = (1 x2)(1 - x)，化简得x(x2 x -1) = 0由于x不等于0，所以x2 x -1 = 0解得，取正根得速率为= 0.786c（2）粒子的非相对论动量为p = m0v，相对论动量为，根据题意得方程很容易解得速率为= 0.866c3.12某快速运动的粒子，其动能为4.810-16J，该粒子静止时的总能量为1.610-17J，若该粒子的固有寿命为2.610-6s，求其能通过的距离解答在相对论能量关系中E = E0 + Ek，静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为，所以，由此得粒子的运动时为还可得，解得速率为粒子能够通过的距离为= 24167.4(m)3.13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：证明根据上题的过程已得，将E = E0 + Ek代入公式立可得证3.13 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.6728510-27kg，mn = 1.6749510-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.3436510-27kg，求结合过程中所释放出的能量解答在结合过程中，质量亏损为m = mp + mn - m0 = 3.9498810-30(kg)，取c = 3108(ms-1)，可得释放出的能量为E = mc2 = 3.55489310-13(J)如果取c = 2.997925108(ms-1)，可得释放出的能量为E = 3.54997710-13(J)第二章 质点力学的基本定律mF图2.12.1 如图所示，把一个质量为m的木块放在与水平成角的固定斜面上，两者间的静摩擦因素s较小，因此若不加支持，木块将加速下滑（1）试证tans；（2）须施加多大的水平力，可使木块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？（3）如不断增大的大小，则摩擦力和正压力将有怎样的变化？（1）证明木块在斜面上时受到重力和斜面的支持力以及静摩擦力，其中GmNff fs = sN，而 N = Gcos要使木块加速下滑，重力沿着斜面的分量不得小于最大静摩擦力fs根据牛顿第二定律得Gsin - sGcos = ma0，因此tans 证毕GmNfxFy（2）解答要使物体恰好不下滑，则有 Gsin - sN - Fcos = 0， （1） N - Gcos - Fsin = 0 （2）（2）s +（1）得Gsin - sGcos Fcos - sFsin = 0，解得 （3）上式代入（2）得（4）（3）解答当木块平衡时，一般情况下，有Gsin - f - Fcos = 0，N - Gcos - Fsin = 0解得 f = Gsin - Fcos，N = Gcos + Fsin可知：1当的大小不断增加时，摩擦力将不断减小；当F = Gtan时，摩擦力为零；当F再增加时摩擦力将反向；至于木块是否向上做加速运动，则要进一步讨论2正压力将不断增加讨论当tan 1/s时，如果木块恰好不上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可得将（3）式中的s改为-s就是这个结果可见：当tan = 1/s时，F趋于无穷大，只有当tan 1/s时，才能增加F的大小使木块向上加速滑动2.2 如图所示，设质量m = 10kg的小球挂在倾角 = 30的光滑斜面上，求：a图2.2（1）当斜面以加速度a = g/3沿图中所示的方向运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时小球对斜面的正压力为零？（g = 9.8ms-2）GxayNT解答（1）小球受到重力G，斜面的支持力N和绳子的张力T建立坐标系，列方程得Ncos + Tsin mg = 0，Tcos - Nsin = ma解得N = m(gcos asin) = 68.54(N)，T = m(gsin + acos) = 77.29(N)（2）令N = 0，得加速度为a = gctg = 16.97(ms-2)2.3 物体A和B的质量分别为mA = 8kg，mB = 16kg，它们之间用绳子联结，在倾角 = 37的斜面上向下滑动，如图所示A和B与斜面的滑动摩擦因素分别为kA = 0.2，kB = 0.4，求：（1）物体A和B的加速度；AB图2.3（2）绳子的张力；（3）如果将A和B互换位置，则（1）和（2）的结果如何？解答根据角度关系可得sin = 3/5 = 0.6，cos = 4/5 = 0.8，tan = 3/4 = 0.75ABmAgNAfATTmBgNBfB（1）如果物体A和B之间没有绳子，由于tans，可知：A和B都要沿斜面做加速运动，而B的加速度比较小当A和B之间有绳子时，它们将以相同的加速度运动设绳子的张力为T，根据牛顿第二定律分别对A和B列运动方程：mAgsin kAmAgcos - T = mAa，T + mBgsin kBmBgcos = mBa两式相加得(mA + mB)sin (kAmA + kBmB)cosg = (mA + mB)a，所以加速度为= 3.26(ms-2)（2）将加速度a的公式代入任一方程都可解得张力为= 3.86(N)由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张力才为零，这是因为它们的加速度相等（3）将A和B互换位置后，由于A的加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为零A的运动方程为mAgsin kAmAgcos = mAaA，解得 aA = g(sin kAcos) = 4.12(ms-2)同理得aB = g(sin kBcos) = 2.7(4ms-2)ABv0P图2.42.4 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解答质点在斜上运动的加速度为a = gsin，方向与初速度方向垂直其运动方程为x = v0t，将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程2.5 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为k = 0.25，静摩擦因素为s = 0.30求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1ms-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用板对物体的支持大小等于物体的重力Nm = mg = 19.6(N)，NmfmNMfMa这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为fm = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力NM = (m + M)g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为fM = kNM = 7.35(N)这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a的运动，物体的运动方程为NmfNMf fFa f =smg = ma，可得 a =sg板的运动方程为 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力2.6 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力（绳子和滑轮质量均不计）解答利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2对两物体列运动方程得T2 - m2g = m2a2，F T1 m1g = m1a1可以解得m2的加速度为= .78(ms-2)，绳对它的拉力k1k2F(a)k1k2F图2.7(b)= 1.35(N) 2.7 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2满足关系关系式；（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2解答当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F2 = k2x2（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 ，即（2）由于弹簧并联，所以m2FT1a1m1T2a2f1f2图2.6F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k22.8 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角）及线中的张力T（1）小车沿水平线作匀速运动；图2.8（2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成角；（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来Tmgma（2）解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg，所以 = arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力 Tmgma（3）（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcosTmgmb（4）（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，角的对边是mbcos，邻边是mg + mbsin，由此可得：，因此角度为；而张力为Tmgmb（5）（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了lmBCO图2.92.9 如图所示：质量为m = 10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的一端，构成一个摆摆动时，与竖直线的最大夹角为60求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在 60的任一位置时，求小球速度v与的关系式这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在 = 60时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？lmBCOmgT解答（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsin，负号表示角度增加的方向为正方向小球的运动方程为，其中s表示弧长由于s = R = l，所以速度为，因此，即 vdv = -glsind， （1）取积分 ，得 ，解得= 2.21(ms-1)由于，所以TB = 2mg = 1.96(N)（2）由（1）式积分得，当 = 60时，vC = 0，所以C = -lg/2，因此速度为切向加速度为at = gsin；法向加速度为由于TC mgcos = man，所以张力为TC = mgcos + man = mg(3cos 1)（3）当 = 60时，切向加速度为= 8.49(ms-2)，法向加速度为 an = 0，绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)注意在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便2.10 一质量为m的小球，最初静止于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面ADCB下滑试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力rDBCA解答此题情形与上一题的数学类型是相同的取上题中l = r，对（1）式积分，得 ，解得速度为，角速度为由于NC mgcos = 2mgcos，所以NC = 3mgcoshmNmg图2.112.11 小石块沿一弯曲光滑轨道上由