大学物理课后题答案.doc

第一章 质点运动学
1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]（1）质点在第1s末的位移大小为
x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．
在第2s末的位移大小为
x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．
在第2s内的位移大小为
Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为
=Δx/Δt = 4(m·s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为
v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a(t) = dv/dt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为
a(1) = 12 - 12×1 = 0，
第2s内的平均加速度为
= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo，
根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n – 1)vo/t， (1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得
a = (n2 – 1)vo2/2s，(2)
（1）平方之后除以（2）式证得
．
计算得加速度为
= 0.4(m·s-2)．

1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：
70m

22.5º

图1.3

（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = 2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2 - v02 = 2as，
可得上升的最大高度为
h1 = vy02/2g = 30.94(m)．
他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为
h2 = h1 + h = 100.94(m)．
根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为
= 4.49(s)．
因此他飞越的时间为
t = t1 + t2 = 6.98(s)．
他飞越的水平速度为
vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)，
所以矿坑的宽度为
x = vx0t = 419.19(m)．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy = gt = 69.8(m·s-1)，
落地速度为
v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1)，
与水平方向的夹角为
φ = arctan(vy/vx) = 49.30º，
方向斜向下．
方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程
，
解得
．
这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t = 6.98(s)．
由此可以求解其他问题．

1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]（1）分离变量得，
积分 ，
可得 ．
（2）公式可化为，
由于v = dx/dt，所以

积分 ．
因此 ． 证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．
由于a = d2x/dt2，
而 dx/dt = v，
所以 a = dv/dt，
分离变量得方程
，
解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则
dv/dt = -kvn．
（1）如果n = 1，则得
，
积分得
lnv = -kt + C．
当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此
lnv/v0 = -kt，
得速度为
v = v0e-kt．
而dv = v0e-ktdt，积分得
．
当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此
．
（2）如果n≠1，则得，积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以，因此
．
如果n = 2，就是本题的结果．
如果n≠2，可得
，
读者不妨自证．

1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]（1）角速度为
ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，
法向加速度为
an = rω2 = 230.4(m·s-2)；
角加速度为
β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)，
切向加速度为
at = rβ = 4.8(m·s-2)．
（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即
．
由此得，
即 ，
解得 ．
所以
=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ = rω2，
即 24t = (12t2)2，
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．

y

x

O

α

v0

θ

a

ax

ay

v0x

v0y

1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ，
v0y = v0sinθ．
加速度的大小为
ax = acosα，
ay = asinα．
运动方程为
，
．
即 ，
．
令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0（舍去）；(s)．
将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．

R

A

图1.7

1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att = 0.6(m·s-1)，
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
= 0.36(m·s-2)．

1.8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h = h1 - h2，所以
，
解得时间为
= 0.705(s)．
算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程
h = (a + g)t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．

1.9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．
（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；
（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；
（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．
[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v．
（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为
．
A

B

A

B

v

v + u

v - u

A

B

v

u

u

v

v

（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为
． 证毕．

v1

h

l

v2

θ

图1.10

1.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
v1

h

l

v2

θ

v3

α

α

v⊥

[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，
即 ． 证毕．
方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
，
所以

，
即 ．
方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l = (v1 – v2sinθ)t，
h = v2cosθ∙t．
两式消去时间t即得所求． 证毕．

第3章 狭义相对论
3.1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？
[解答]地球的半径约为
R = 6400千米 = 6.4×106(m)，
自转一圈的时间是
T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)，
赤道上钟的线速度为
v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．
将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．
南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．
方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时
Δt=50×108×365×24×60×60=15768×1016(s)．
B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
，
可求得B钟的本征时为
，
因此时间差为
=1.898×105(s)．
在南极上看，赤道上的钟变慢了．
方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时
Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
，
可求得A钟的本征时为
，
因此时间差为
=1.898×105(s)．
在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．
有人直接应用公式计算时间差

，
由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．

3.2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为．若将这个光钟横放在一个以速度行驶的火车上，使两镜面都与垂直，两镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为
．

3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
，
即 ，
可以求两系统的相对速度为
v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为
Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．

3.4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
，
因此
，
可得夹角为
．

3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
，
． （1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
，
．（2）
由（2）之上式得它们的相对速度为
． （3）
将（2）之下式除以（2）之上式得
，
所以

= -0.577×10-8(s)．
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式，计算它们的相对速度．

3.6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
和，
飞船上观察运动员的运动距离为

≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为

≈16.67(s)．
在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．

3.7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为

≈6.67(s)．
空间间隔为

≈-1.6×109(m)．

3.8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？
[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应，可得杆的本征长度为

= 50.25(m)．
另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为

= 0.99796c．
在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
= 3.363(m)．
[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．

3.9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为
= 4(s)．

v=u

O

x

地球

星光

y

c

S

S`

x`

y`

uy`

-u

θ`

太阳

3.10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为
ux = 0，uy = c．
星光在S`系中的速度分量为

星光在S`系中的速度为
，
即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
．
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
，
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
．
[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4题中的甲飞船．

3.11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
[解答]（1）粒子的非相对论动能为
Ek = m0v2/2，
相对论动能为
E`k = mc2 – m0c2，
其中m为运动质量
．
根据题意得
，
设x = (v/c)2，方程可简化为
，
或 ，
平方得
1 = (1 – x2)(1 - x)，
化简得
x(x2 – x -1) = 0．
由于x不等于0，所以
x2 – x -1 = 0．
解得
，
取正根得速率为
= 0.786c．
（2）粒子的非相对论动量为
p = m0v，
相对论动量为
，
根据题意得方程
．
很容易解得速率为
= 0.866c．

3.12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系中
E = E0 + Ek，
静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为
，
所以
，
由此得粒子的运动时为
．
还可得

，
解得速率为
．
粒子能够通过的距离为

= 24167.4(m)．

3.13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：．
[证明]根据上题的过程已得
，
将E = E0 + Ek代入公式立可得证．

3.13 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．
[解答]在结合过程中，质量亏损为
Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)，
取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)．
如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = 3.549977×10-13(J)．

第二章 质点力学的基本定律

θ

m

F

图2.1

2.1 如图所示，把一个质量为m的木块放在与水平成θ角的固定斜面上，两者间的静摩擦因素μs较小，因此若不加支持，木块将加速下滑．
（1）试证tanθ≧μs；
（2）须施加多大的水平力，可使木块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？
（3）如不断增大的大小，则摩擦力和正压力将有怎样的变化？
（1）[证明]木块在斜面上时受到重力和斜面的支持力以及静摩擦力，其中
θ

G

m

N

f

f ≦ fs = μsN，
而 N = Gcosθ．
要使木块加速下滑，重力沿着斜面的分量不得小于最大静摩擦力fs．根据牛顿第二定律得
Gsinθ - μsGcosθ = ma≧0，
因此tanθ≧μs． 证毕．
θ

G

m

N

f

x

F

θ

y

（2）[解答]要使物体恰好不下滑，则有
Gsinθ - μsN - Fcosθ = 0， （1）
N - Gcosθ Fsinθ = 0． （2）
（2）×μs +（1）得
Gsinθ - μsGcosθ – Fcosθ - μsFsinθ = 0，
解得
． （3）
上式代入（2）得
．（4）
（3）[解答]当木块平衡时，一般情况下，有
Gsinθ - f - Fcosθ = 0，N - Gcosθ - Fsinθ = 0．
解得
f = Gsinθ - Fcosθ，N = Gcosθ + Fsinθ．
可知：1当的大小不断增加时，摩擦力将不断减小；当F = Gtanθ时，摩擦力为零；当F再增加时摩擦力将反向；至于木块是否向上做加速运动，则要进一步讨论．
2正压力将不断增加．
[讨论]当tanθ < 1/μs时，如果木块恰好不上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可得
．
将（3）式中的μs改为-μs就是这个结果．可见：当tanθ = 1/μs时，F趋于无穷大，只有当tanθ < 1/μs时，才能增加F的大小使木块向上加速滑动．

2.2 如图所示，设质量m = 10kg的小球挂在倾角α = 30°的光滑斜面上，求：
α

a

图2.2

（1）当斜面以加速度a = g/3沿图中所示的方向运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？
（2）当斜面的加速度至少为多大时小球对斜面的正压力为零？（g = 9.8m·s-2）
α

G

x

a

y

N

T

[解答]（1）小球受到重力G，斜面的支持力N和绳子的张力T．建立坐标系，列方程得
Ncosα + Tsinα – mg = 0，
Tcosα - Nsinα = ma．
解得N = m(gcosα – asinα) = 68.54(N)，
T = m(gsinα + acosα) = 77.29(N)．
（2）令N = 0，得加速度为
a = gctgα = 16.97(m·s-2)．

2.3 物体A和B的质量分别为mA = 8kg，mB = 16kg，它们之间用绳子联结，在倾角α = 37°的斜面上向下滑动，如图所示．A和B与斜面的滑动摩擦因素分别为μkA = 0.2，μkB = 0.4，求：
（1）物体A和B的加速度；
α

A

B

图2.3

（2）绳子的张力；
（3）如果将A和B互换位置，则（1）和（2）的结果如何？
[解答]根据角度关系可得sinα = 3/5 = 0.6，cosα = 4/5 = 0.8，tanα = 3/4 = 0.75．
α

A

B

mAg

NA

fA

T

T

mBg

NB

fB

（1）如果物体A和B之间没有绳子由于tanθ≧μs，可知：A和B都要沿斜面做加速运动，而B的加速度比较小．当A和B之间有绳子时，它们将以相同的加速度运动．
设绳子的张力为T，根据牛顿第二定律分别对A和B列运动方程：
mAgsinα – μkAmAgcosα - T = mAa，
T + mBgsinα – μkBmBgcosα = mBa．
两式相加得
[(mA + mB)sinα – (μkAmA + μkBmB)cosα]g
= (mA + mB)a，
所以加速度为

= 3.26(m·s-2)．
（2）将加速度a的公式代入任一方程都可解得张力为
= 3.86(N)．
由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张力才为零，这是因为它们的加速度相等．
（3）将A和B互换位置后，由于A的加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为零．
A的运动方程为
mAgsinα – μkAmAgcosα = mAaA，
解得 aA = g(sinα – μkAcosα) = 4.12(m·s-2)．
同理得aB = g(sinα – μkBcosα) = 2.7(4m·s-2)．

α

A

B

v0

P

图2.4

2.4 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t，．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
，
这是抛物线方程．

2.5 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力
Nm = mg = 19.6(N)，
Nm

fm

NM

fM

a

这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为
fm = ma = 2(N)，
这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力
NM = (m + M)g = 29.4(N)，
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为
fM = μkNM = 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
Nm

f

NM

f `

f

F

a`

f =μsmg = ma`，
可得 a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g = Ma`，
即 F = f + Ma` + μk(m + M)g
= (μs + μk)(m + M)g，
算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．

2.6 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．
对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2，
F – T1 – μm1g = m1a1．
可以解得m2的加速度为

= .78(m·s-2)，
绳对它的拉力
k1

k2

F

(a)

k1

k2

F

图2.7

(b)

= 1.35(N)．

2.7 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为
F1 = k1x1，F2 = k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以
F = F1 = F2，x = x1 + x2，
因此 ，即．
（2）由于弹簧并联，所以

m2

F

T1

a1

m1

T2

a2

f1

f2

图2.6

F = F1 F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．

2.8 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
图2.8

（2）小车以加速度沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
T

mg

ma

θ

（2）

[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg，
所以 θ = arctan(a/g)；
绳子张力等于摆所受的拉力
．
T

mg

ma

φ

θ

（3）

（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以
θ = φ；
T = mgcosφ．
T

mg

mb

φ

θ

φ

（4）

（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosφ，邻边是mg + mbsinφ，由此可得：
，
因此角度为
；
而张力为

．
T

mg

mb

φ

θ

（5）

（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．

l

m

θ

B

C

O

图2.9

2.9 如图所示：质量为m = 10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：
（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？
（2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？
（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？
l

m

θ

B

C

O

mg

T

[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为
，
其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为
，
因此
，
即 vdv = -glsinθdθ， （1）
取积分 ，
得 ，
解得
= 2.21(m·s-1)．
由于，
所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
，
当 θ = 60º时，vC = 0，所以C = -lg/2，
因此速度为
．
切向加速度为
at = gsinθ；
法向加速度为
．
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为
TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)．
（3）当 θ = 60º时，切向加速度为
= 8.49(m·s-2)，
法向加速度为
an = 0，
绳子的拉力
T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．

2.10 一质量为m的小球，最初静止于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面ADCB下滑．试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力．
r

D

α

B

C

A

[解答]此题情形与上一题的数学类型是相同的．
取上题中l = r，对（1）式积分
，
得 ，
解得速度为
，
角速度为
．
由于NC – mgcosα = 2mgcosα，所以
NC = 3mgcosθ．

h

θ

m

N

mg

图2.11

2.11 小石块沿一弯曲光滑轨道上由