大学物理课后题答案11.doc

习 题 十 一11-1 如图所示，在点电荷+Q的电场中放置一导体球。由点电荷+Q到球心的径矢为r，在静电平衡时，求导体球上的感应电荷在球心O点处产生的场强E。解 静电平衡时，导体内任一点的场强为零，O点的场强是点电荷+Q及球面上感应电荷共同贡献的，由场强叠加原理有11-2 一带电量为q、半径为r的金属球A，放在内外半径分别为和的不带电金属球壳B内任意位置，如图所示。A与B之间及B外均为真空，若用导线把A，B连接，求球A的电势。解 以导线把球和球壳连接在一起后，电荷全部分布在球壳的外表面上(或者说导体球的电荷与球壳内表面电荷中和)，整个系统是一个等势体，因此11-3 如图所示，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距为d，忽略边缘效应，求：(1)板B不接地时，两板间的电势差；(2)板B接地时，两板间的电势差。解 (1) 由61页例1知，两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B不接地，电荷分布为因而板间电场强度为 电势差为 (2) 板B接地时，在B板上感应出负电荷，电荷分布为故板间电场强度为 电势差为 11-4 如图所示，有三块互相平行的导体板，上导体板到中间导体板的距离为5.0cm，上导体板到下导体板的距离为8.0cm，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块两面上带电，其面电荷密度之和为。求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少(忽略边缘效应)? 解 因忽略边缘效应，可把三个导体板看作无限大平板，由例1知 (1) (2)忽略边缘效应，则导体板可看成无限大的，具有屏蔽性，在相邻导体板之间的电场只由相对于二表面上电荷决定。因此上板和中板之间的场强为在中板和下板之间的场强为上板和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即，由此可得 (3)设中板总面电荷密度为，则 (4)由(3)、(4)两式可得代入(1)、(2)两式中得到在上板内任意点场强均为零，它是6个无限大均匀带电平面在该点产生的场强叠加的结果。故有考虑到(1)、(2)两式，则得到 (5)上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板表面出现感应电荷后，总量仍为零。因此有 (6)由(5)、(6)两式得到1l-5 如图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为、。圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的内表面上线电荷密度和外表面上线电荷密度之比值。解 由A、C接地 由高斯定理知 因此 11-6 在一半径为=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为=8.0cm，=10.0cm。设球A带有总电量，球壳B带有总电量。求：(1)球壳B内、外表面上各带有的电量以及球 A和球壳B的电势；(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A和球壳B的电势。解 在球壳B内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通量为零。根据高斯定律，球壳B的内表面上所带电量与球A所带电量等值异号，所以球壳B总电量为，因此其外表面上电量为球A的电势为因为，所以(2)将球壳B接地时，其电势变为零。因为与等量异号，它们在球壳B产生的电势之和为零，所以球壳外表面不再有电荷。球壳B与地断开后，再将球A接地时，电荷将重新分布。设球A、球壳B内表面、球壳B外表面上电量分别为、因为，于是有注意这时仍有，而且于是得到 金属球A接地，电势，球壳B电势为11-7 一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。试求离左表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点之间的电势差。解 导体板内场强，由高斯定理可得板外场强为故A、B两点间电势差为11-8 半径分别为和()的两个同心导体薄球壳，分别带电量和，今将内球壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电。求相连后导体球的带电量q。解 整个系统仍是孤立球形电容与内球到无限远(地)之间的电容之并联。而后者是内球形电容与外球孤立球形电容串联所构成的设小球上电量为q，则上电量-q，上电量为设三个电容上的电压各为、 由于 所以 因而移到小球上的电量为11-9 一种单芯同轴电缆的中心为一半径=0.5cm的金属导线，其外层包一层5的固体电介质，最外面的是金属包皮。当在此电缆上加一电压后，介质中紧靠其内表面处的场强为紧靠其外表面处的场强的2.5倍，若介质最大安全场强，求此电缆能承受的最大电压是多少?解 由介质中的高斯定理 由 得 所以 因 得到 当 时电缆的电压最大。此时 由 所以 11-10 一平行板电容器面积为S，两板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。解 由 所以 (1) 而由 得 (2)极化强度 (3) 由(1)、(2)、(3)得 11-11 两个同心的薄金属球壳，内、外壳半径分别为=0.02m和=0.06m。球壳间充满两层均匀电介质，它们的相对电容率6和3。两层电介质的分界面半径R=0.04m。设内球壳带电量Q=，求： (1)D和E的分布，并画出D-r、E-r曲线； (2)两球壳之间的电势差； (3)贴近内金属壳的电介质表面上的束缚面电荷密度。解 以与球壳同心的球面为高斯面(1)r rR Rr r (2) (3)内球壳表面电荷密度11-12 一平行电容器的面积为S，板间距离为d，板间两半分别以相对电容率为和的电介质充满(如图)。求此电容器的电容。解一 设极板上总电量为Q，部分的电量为，部分的电量为。 及 可求得 解二 可看作两电容器的并联，由于所以 因此 11-13 盖革计数管由一根细金属丝和包围它的同轴导体圆筒组成。金属丝直径为2.5mm，圆筒直径为25mm，管长100mm。试计算盖革计数管的电容(设管体间为真空，可用无限长导体圆筒的场强公式计算电场)。解 设盖革计数管所带电量为Q，管长为l，则线电荷密度在金属丝与同轴圆筒之间的场强设金属丝与圆筒的直径分别为和，则它们的电势差为由此得盖革计数管的电容11-14 为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm的两平行板中间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小到原来的60，求电介质的相对电容率。解 设两平行板间距离为d，介质板厚度为，插入前电容器电势差为U，插入后为，电容器上面电荷密度为插入介质板前电容器内场强，电势差插入介质板后，电容器内空气中场强仍为E，介质内场强两板间的电势差已知，因此有解此方程得11-15 半径为的导体球和内半径为的同心导体球壳构成球形电容器，其间一半充满相对电容率为的各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。试求该电容器的电容。解 相当于两个半球形电容器并联对球形电容器，充电后两球间的电场强度两球间的电压电容上半球下半球11-16 两块无限大平行导体板，相距为2d，都与地连结。在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)，离子数密度为n，每个离子的带电量为q，如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对中心平面是对称的。试求两板间的场强分布和电势分布。解 由于电荷分布相对于是对称的，作底面积为的高斯面因此 当0xd时，当-dxR)。试求该导体组单位长度的电容。解 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P的场强。如图所示，过P分别做两个长为L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。所以 同理 根据叠加原理，P点总场强为两条线间电压为故单位长度电容1l-19 一空气平行板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d。接上电源后，两板间的电压为U，现将一带电量为q、面积也是S而厚度可忽略不计的导体片C平行地插入两极板的中间位置，试求导体片C的电势。解 设平行板正板下表面带电量为Q，则导体片C的上表面带电-Q，其下表面带电Q+q，下板上表面带电。由高斯定理得 又由两板间的电势为所以 因而导体C的电势 11-20 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为=2cm，=5cm，其间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质，电容器接在U=32V的电源上(如图所示)。试求距离轴线R=3.5cm的点A处的电场强度和点A与外筒间的电势差。解 由 因此 因此 所以 =12.5 V11-21 莱顿瓶是早期的一种电容器，它是一个内外贴有金属箔的圆柱形玻璃瓶。设玻璃瓶的内径为=8cm，厚度为2mm，金属箔高40cm。玻璃的相对电容率=5.0，击穿场强为1.5。若不考虑边缘效应，试计算：(1)莱顿瓶的电容值；(2)它最多能储存多少能量。解 由圆柱形电容器 由题意知场强最大为 所以 因此 11-22 置于球心的点电荷+Q被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为，球壳的尺寸如图所示。试求以下各量与场点径矢r的关系：(1)电位移D；(2)电场强度E；(3)极化强度P； (4)束缚电荷激发的电场强度；(5)面电荷密度；(6)电能密度。解 (1) 由有介质的高斯定理 (2) 由静电场的性能方程 得 (3) 由 得(4) 在电介质内 所以在其它位置(5) 由束缚电荷 ，在电介质中在导体中，自由电荷 (6) 由 得11-23 一电容为C的空气平行板电容器，接端电压为U的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至n倍时外力所作的功。解 断开电源后Q不变，电容由原来的，变为外力所做的功即相当于系统静电能的改变量由于Q不变，所以因此即外力做功11-24 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，长都是 L，中间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷 +Q和-Q，设b-ab，忽略边缘效应，求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解 (1)用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是 两极板间电位差为所以 (2)法二：11-25 两个相同的平行板电容器，它们的极板都是半径为 l0cm的圆形板，板间距都是1.0mm，其中一个电容器两板间是空气，另一个两板间是=26的酒精。把它们并联后充电到120V，求它们所储存的总电能。断开电源，把它们带异号电荷的两板分别连在一起。求这时两者所储总电能。解 两电容并联 存储电能 断电后 总电量总电能 由于 因此 11-26 一同轴圆筒状电容器的内、外筒半径分别为a、b。试证该电容器所储电能的一半是在半径为的圆柱内部。解 设圆柱电容器中充以电容率为的各向同性均匀电介质，内外筒分别带电荷+Q、-Q，长为L。用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是 设总电能的一半在半径为r的圆柱体内，则而 所以 即 因此 证毕。11-27 有一根单芯电缆，电缆芯的半径为=15mm，铅包皮的内半径为=50mm，其间充以相对电容率=2.3的各向同性均匀电介质。求当电缆芯与铅包皮间的电压为=600V时，长为 l=1km的电缆中储存的静电能是多少?解 由 得 因此11-28 充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压为 U=1000V时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压=3000V，求：(1)电介质的相对电容率；(2)若有电介质时的电容，抽出电介质后的电容为多大；(3)抽出电介质时外力所作的功。解 (1) 由 同理 断开后 所以 即 (2) (3) 所以 11-29 如图所示，圆柱形电容器由半径的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒半径，圆筒长为L，且L。在导线与圆筒间r的区域为真空。设沿轴线单位长度上导线的带电量为，圆筒的带电量为，忽略边缘效应，求：(1)何处电场强度最大?其值为多少?(2)电容器两极间的电势差；(3)电介质区域的电场总能量。解 (1) ar2a 2ar3a E=0 因此 电场强度最大处在 r=2a ，此处 (2) (3) 11-30 球形电容器由半径为的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为，其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为r，内外层电介质的相对电容率分别为和。已知内球带电量为-Q，试求：(1)各介质表面上的束缚面荷密度；(2)电容器的静电能和电场总能量。解 (1) r r 时，时，时， (2) 11-19