大学物理课后题答案11.doc

习 题 十 一
11-1 如图所示，在点电荷+Q的电场中放置一导体球。由点电荷+Q到球心的径矢为r，在静电平衡时，求导体球上的感应电荷在球心O点处产生的场强E。
[解] 静电平衡时，导体内任一点的场强为零，O点的场强是点电荷+Q及球面上感应电荷共同贡献的，由场强叠加原理有

11-2 一带电量为q、半径为r的金属球A，放在内外半径分别为和的不带电金属球壳B内任意位置，如图所示。A与B之间及B外均为真空，若用导线把A，B连接，求球A的电势。

[解] 以导线把球和球壳连接在一起后，电荷全部分布在球壳的外表面上(或者说导体球的电荷与球壳内表面电荷中和)，整个系统是一个等势体，因此

11-3 如图所示，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距为d，忽略边缘效应，求：(1)板B不接地时，两板间的电势差；(2)板B接地时，两板间的电势差。
[解] (1) 由61页例1知，两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B不接地，电荷分布为

因而板间电场强度为
电势差为
(2) 板B接地时，在B板上感应出负电荷，电荷分布为
故板间电场强度为
电势差为

11-4 如图所示，有三块互相平行的导体板，上导体板到中间导体板的距离为5.0cm，上导体板到下导体板的距离为8.0cm，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块两面上带电，其面电荷密度之和为。求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少(忽略边缘效应)?
[解] 因忽略边缘效应，可把三个导体板看作无限大平板，由例1知
(1)
(2)
忽略边缘效应，则导体板可看成无限大的，具有屏蔽性，在相邻导体板之间的电场只由相对于二表面上电荷决定。因此上板和中板之间的场强为

在中板和下板之间的场强为

上板和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即，由此可得
(3)
设中板总面电荷密度为，则
(4)
由(3)、(4)两式可得

代入(1)、(2)两式中得到

在上板内任意点场强均为零，它是6个无限大均匀带电平面在该点产生的场强叠加的结果。故有

考虑到(1)、(2)两式，则得到
(5)
上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板表面出现感应电荷后，总量仍为零。因此有
(6)
由(5)、(6)两式得到

1l-5 如图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为、、。圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的内表面上线电荷密度和外表面上线电荷密度之比值。
[解] 由A、C接地
由高斯定理知

因此

11-6 在一半径为=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为=8.0cm，=10.0cm。设球A带有总电量，球壳B带有总电量。求：(1)球壳B内、外表面上各带有的电量以及球 A和球壳B的电势；(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A和球壳B的电势。
[解] 在球壳B内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通量为零。根据高斯定律，球壳B的内表面上所带电量与球A所带电量等值异号，所以

球壳B总电量为，因此其外表面上电量为

球A的电势为

因为，所以

(2)将球壳B接地时，其电势变为零。因为与等量异号，它们在球壳B产生的电势之和为零，所以球壳外表面不再有电荷。球壳B与地断开后，再将球A接地时，电荷将重新分布。设球A、球壳B内表面、球壳B外表面上电量分别为、、
因为，于是有

注意这时仍有，而且

于是得到

金属球A接地，电势，球壳B电势为

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
11-7 一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。试求离左表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点之间的电势差。
[解] 导体板内场强，由高斯定理可得板外场强为

故A、B两点间电势差为

11-8 半径分别为和(>)的两个同心导体薄球壳，分别带电量和，今将内球壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电。求相连后导体球的带电量q。
[解] 整个系统仍是孤立球形电容与内球到无限远(地)之间的电容之并联。而后者是内球形电容与外球孤立球形电容串联所构成的

设小球上电量为q，则上电量-q，上电量为设三个电容上的电压各为、、

由于
所以
因而移到小球上的电量为

11-9 一种单芯同轴电缆的中心为一半径=0.5cm的金属导线，其外层包一层5的固体电介质，最外面的是金属包皮。当在此电缆上加一电压后，介质中紧靠其内表面处的场强为紧靠其外表面处的场强的2.5倍，若介质最大安全场强，求此电缆能承受的最大电压是多少?
[解] 由介质中的高斯定理
由 得
所以
因 得到
当 时电缆的电压最大。
此时
由
所以

11-10 一平行板电容器面积为S，两板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。
[解] 由 所以 (1)
而由 得 (2)
极化强度 (3)
由(1)、(2)、(3)得

11-11 两个同心的薄金属球壳，内、外壳半径分别为=0.02m和=0.06m。球壳间充满两层均匀电介质，它们的相对电容率6和3。两层电介质的分界面半径R=0.04m。设内球壳带电量Q=，求：
(1)D和E的分布，并画出D-r、E-r曲线；
(2)两球壳之间的电势差；
(3)贴近内金属壳的电介质表面上的束缚面电荷密度。
[解] 以与球壳同心的球面为高斯面

(1)r<
≤r<R
R≤r<
<r
(2)

(3)内球壳表面电荷密度

11-12 一平行电容器的面积为S，板间距离为d，板间两半分别以相对电容率为和的电介质充满(如图)。求此电容器的电容。
[解一] 设极板上总电量为Q，部分的电量为，部分的电量为。
∵

∵ 及
∴可求得
[解二] 可看作两电容器的并联，由于
所以
因此

11-13 盖革计数管由一根细金属丝和包围它的同轴导体圆筒组成。金属丝直径为2.5mm，圆筒直径为25mm，管长100mm。试计算盖革计数管的电容(设管体间为真空，可用无限长导体圆筒的场强公式计算电场)。
[解] 设盖革计数管所带电量为Q，管长为l，则线电荷密度
在金属丝与同轴圆筒之间的场强

设金属丝与圆筒的直径分别为和，则它们的电势差为

由此得盖革计数管的电容

11-14 为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm的两平行板中间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小到原来的60％，求电介质的相对电容率。
[解] 设两平行板间距离为d，介质板厚度为，插入前电容器电势差为U，插入后为，电容器上面电荷密度为
插入介质板前电容器内场强，电势差
插入介质板后，电容器内空气中场强仍为E，介质内场强
两板间的电势差

已知，因此有

解此方程得

11-15 半径为的导体球和内半径为的同心导体球壳构成球形电容器，其间一半充满相对电容率为的各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。试求该电容器的电容。
[解] 相当于两个半球形电容器并联
对球形电容器，充电后两球间的电场强度
两球间的电压
电容
上半球
下半球

11-16 两块无限大平行导体板，相距为2d，都与地连结。在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)，离子数密度为n，每个离子的带电量为q，如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对中心平面是对称的。试求两板间的场强分布和电势分布。
[解] 由于电荷分布相对于是对称的，作底面积为的高斯面

因此
当0<x<d时，
当-d<x<0时，
所以x处的电势为

11-17 两半径相同的金属球，相距很远。试证明：该导体组的电容等于各孤立导体球的电容值的一半。
[解] 设两球半径都是R，带电量为，则各球电势是

两球电位差为

所以
其中为单独一个孤立导体球的电容。

11-18 半径都是R的两根“无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为+和-，两直导线平行放置，相距为d(d>>R)。试求该导体组单位长度的电容。
[解] 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P的场强。
如图所示，过P分别做两个长为L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。

所以
同理
根据叠加原理，P点总场强为

两条线间电压为

故单位长度电容

1l-19 一空气平行板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d。接上电源后，两板间的电压为U，现将一带电量为q、面积也是S而厚度可忽略不计的导体片C平行地插入两极板的中间位置，试求导体片C的电势。
[解] 设平行板正板下表面带电量为Q，则导体片C的上表面带电-Q，其下表面带电Q+q，下板上表面带电。
由高斯定理得
又由两板间的电势为

所以
因而导体C的电势

11-20 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为=2cm，=5cm，其间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质，电容器接在U=32V的电源上(如图所示)。试求距离轴线R=3.5cm的点A处的电场强度和点A与外筒间的电势差。
[解] 由
因此

因此
所以
=12.5 V

11-21 莱顿瓶是早期的一种电容器，它是一个内外贴有金属箔的圆柱形玻璃瓶。设玻璃瓶的内径为=8cm，厚度为2mm，金属箔高40cm。玻璃的相对电容率=5.0，击穿场强为1.5。若不考虑边缘效应，试计算：(1)莱顿瓶的电容值；(2)它最多能储存多少能量。
[解] 由圆柱形电容器
由题意知场强最大为
所以
因此

11-22 置于球心的点电荷+Q被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为，球壳的尺寸如图所示。试求以下各量与场点径矢r的关系：(1)电位移D；(2)电场强度E；(3)极化强度P； (4)束缚电荷激发的电场强度；(5)面电荷密度；(6)电能密度。
[解] (1) 由有介质的高斯定理

(2) 由静电场的性能方程 得

(3) 由 得

(4) 在电介质内
所以
在其它位置
(5) 由束缚电荷 ，在电介质中

在导体中，自由电荷

(6) 由 得

11-23 一电容为C的空气平行板电容器，接端电压为U的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至n倍时外力所作的功。
[解] 断开电源后Q不变，电容由原来的，变为
外力所做的功即相当于系统静电能的改变量

由于Q不变，，所以
因此

即外力做功

11-24 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，长都是 L，中间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷 +Q和-Q，设b-a<<a，L>>b，忽略边缘效应，求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。
[解] (1)用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是

两极板间电位差为

所以
(2)

法二：

11-25 两个相同的平行板电容器，它们的极板都是半径为 l0cm的圆形板，板间距都是1.0mm，其中一个电容器两板间是空气，另一个两板间是=26的酒精。把它们并联后充电到120V，求它们所储存的总电能。断开电源，把它们带异号电荷的两板分别连在一起。求这时两者所储总电能。
[解] 两电容并联
存储电能

断电后 总电量
总电能
由于
因此

11-26 一同轴圆筒状电容器的内、外筒半径分别为a、b。试证该电容器所储电能的一半是在半径为的圆柱内部。
[解] 设圆柱电容器中充以电容率为的各向同性均匀电介质，内外筒分别带电荷+Q、-Q，长为L。用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是

设总电能的一半在半径为r的圆柱体内，则

而
所以
即
因此 证毕。

11-27 有一根单芯电缆，电缆芯的半径为=15mm，铅包皮的内半径为=50mm，其间充以相对电容率=2.3的各向同性均匀电介质。求当电缆芯与铅包皮间的电压为=600V时，长为 l=1km的电缆中储存的静电能是多少?
[解] 由 得

因此

11-28 充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压为 U=1000V时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压=3000V，求：(1)电介质的相对电容率；(2)若有电介质时的电容，抽出电介质后的电容为多大；(3)抽出电介质时外力所作的功。
[解] (1) 由
同理
断开后 所以 即
(2)

(3)

所以

11-29 如图所示，圆柱形电容器由半径的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒半径，圆筒长为L，且L>>。在导线与圆筒间<r<的区域充有相对电容率 =3的均匀电介质，r>的区域为真空。设沿轴线单位长度上导线的带电量为，圆筒的带电量为，忽略边缘效应，求：(1)何处电场强度最大?其值为多少?(2)电容器两极间的电势差；(3)电介质区域的电场总能量。
[解] (1) a<r<2a
2a<r<3a
r>3a E=0
因此 电场强度最大处在 r=2a ，此处
(2)
(3)

11-30 球形电容器由半径为的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为，其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为r，内外层电介质的相对电容率分别为和。已知内球带电量为-Q，试求：(1)各介质表面上的束缚面荷密度；(2)电容器的静电能和电场总能量。
[解] (1) <<r
r<<
时，
时，
时，

(2)

11-19