1、,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,特殊平行四边形,青岛六十三中,王绪峰,1,一、教材:,九年制义务教育课程标准实验教科书(北师大版),数学,九年级上册,第三章,第二节“特殊平行四边形”。,2,二、教材分析,:,特殊平行四边形:矩形、菱形、正方形,是常见的几何图形。,3,结合本节课知识特点,制定教学目标如下:,1,、经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理能力。,2,、能够利用综合法证明矩形、菱形、正方形的性质定理及其他相关结论。,3,、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。,4,、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转
2、化等数学思想方法。,5,、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积极探究的思想意识。,4,三、教学指导,:,本节课共分为三课时内容,教学过程中可分为三大步完成,即:理论、方法积累、思路梳理,合作交流,互助探索学习,自主探索,拓展延伸,归纳新知。这充分体现了螺旋上升的原则。,5,对于第一课时的学习,重点以讲授、引导思路为主。,对于第二课时,在第一课时的基础上,,放手让学生合作探索。,对于第三课时则采取探究式的教学方式,,有了前两课时的培训,大可放开手,让,学生自主探索,自己调整思路,透过现,象看本质,寻其根源,归纳总结知识。,6,四、学法指导,:,本章的内容与,证明(二),的联系是很密切的,因此在
3、学习方法上也很相近。,首先,我们应培养学生很好地掌握已熟悉的逻辑方法,包括证明的思路和证明过程的准确表达。,其次,对不同证明方法的探索可以提高学生的逻辑思维水平。因此,在证明了一个命题以后,同学们还应该思考是否还有其他的证明方法,如辅助线的添加方法唯一吗?还可以从什么角度解决问题,。,7,五、评价建议,:,1,、关注学生探索结论、分析思路和方法的过程。,2,、关注学生推理论证的能力和水平。,8,六、教学过程,:,特殊平行四边形(一),为顺利完成教学目标,本节课在教学中设置以下环节。,1,、复习提问,理顺知识,作好辅垫。,2,、新课引入,导入新课,激发兴趣。,3,、新课讲解,积累知识,培养思维。
4、,4,、应用训练,熟练知识,加强理解。,5,、拓展延伸,开阔知识面,训练思维。,6,、小 结,总结收获,畅谈体会。,7,、布置作业,加强练习,加深理解。,9,第一环节,复习提问,第二环节,新课引入,第三环节,新课讲解,第四环节,应用训练,第五环节,拓展延伸,第六环节,感悟与收获,第七环节,布置作业,10,特殊平行四边形,(一),11,回顾与思考,平行四边形定义:,平行四边形性质:,两组对边分别平行的四边形,对边平行,对边相等,边,对角相等,邻角互补,角,对角线互相平分,对角线,12,平行四边形判别:,边:,线:,两组对边分别平行,两组对边分别相等,一组对边平行且相等,对角线互相平分,的四边形是
5、平行四边形,13,证明命题的一般步骤:,1,、审(找条件、结论),2,、作(作图,并标明字母、符号),3,、写(把文字语言转化为几何符,号语言,写已知、求证),4,、证(证明结论),14,在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状,如图:,经历上述运动及变化过程,回想一下矩形是怎样定义的?它又具有哪些性质?,做一做,15,矩形定义:,有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形性质:,边:,角:,线:,具有平行四边形所有边的性质,四个角都是直角,对角线相等且互相平分,与平行四边形的性质相对比,有什么不同之处?为什么?,16,你能证明矩
6、形的特殊性质吗?,试一试,证明:矩形的对角线相等,A,B,C,D,O,已知:矩形,ABCD,中,,AC,、,BD,相交于点,O,求证:,AC=BD,证明:,17,证明,:,四边形,ABCD,是矩形,,AB=CD,,,ABD=ADC=90,RTABD,与,RTDCA,中,AB=CD,,,ABD=ADC=90,AD=AD,ABD DCA,(,SAS,),AC=BD,A,B,C,D,O,18,下列是小刚的证明过程,这样做对吗?为什么?,A,B,C,D,O,证明,:,矩形,ABCD,中,ABCD OAB=OCD,OBA=ODC,ABO,与,DCO,中,OAB=OCD,AB=CD,OBA=ODC,ABO
7、 DCO,AO=OD,BO=CO,AO+OC=BO+OD,即,:AC=BD,19,议一议,D,如图:矩形的对角线相交于点,E,,你可以找到那些相等的线段?如果擦去,ADC,,则剩余的,RTABC,中,,BE,是怎样的一条特殊的线段?它具有什么特性?为什么?,A,B,C,E,A,B,C,E,D,20,想一想,经历上述的探讨过程,你能证明以下结论吗?,推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。,21,A,B,C,E,D,已知:,RtABC,中,,BE,是斜边,AC,上的中线,,求证:,BE=AC/2,证明:,1,、分别过,A,、,C,作,BC,、,AB,的平行线,AD,、,DC,,交点为,D,,
8、连接,BD,证,:ABCD,为矩形,BD,平分,AC,,即:,BD,过,E,BE=AC/2,22,A,B,C,E,D,证明:,2,、过,A,作,BC,的平行线与,BE,的延长线交于点,D,,连接,CD,证:,BCE DAE,(,SAS,),BC=AD,四边形,ABCD,为矩形,BE=AC/2,3,、延长,BE,到,D,,使,BE=DE,,连接,AD,、,DC,。,证:四边形,ABCD,为平行四边形(对角线互相平分),四边形,ABCD,为矩形,BE=AC/2,23,想一想,回顾刚才的证明过程,证明结论的关键是什么?其中用了哪种思维方式?运用了那些知识?你有什么体会?,24,试一试,例:如图:矩形
9、,ABCD,的两条对角线相交于点,O,,已知,AOD=120,,,AB=2.5,厘米,求矩形对角线的长。,A,B,C,D,25,练一练,1,、直角三角形斜边上的中线长为,4,厘米,则他的两条直角边的中点的连线长是,2,、已知矩形的一条对角线长为,8,厘米,两条对角线的一个交角为,60,,则矩形的边长为:,。,40,厘米,3,、用,8,块相同的长方形地砖拼成一个矩形,则每个长方形地砖的面积为,。,A,、,200cm,B,、,300cm,C,、,600cm,D,、,240cm,26,练一练,4,、,已知:在矩形,ABCD,中,E,、,F,分别为,BC,、,AD,上的点,且,AE=CF,,,求证:四
10、边形,AECF,为平行四边形,A,B,C,D,E,F,27,想一想,矩形都有哪些判别方式?你能设法证明它们吗?,定义:,角:,对角线:,28,29,作业,请你设计一个方案,看怎样利用刻度尺检查一个四边形零件是否是矩形。,30,板书设计,特殊平行四边形(一),矩形定义:,有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形性质:,具有平行四边形所有边的性质,四个角都是直角,对角线相等且互相平分,证明:过程,解答过程:,证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。,例:,A,B,C,D,31,特殊平行四边形(二),在认真学习第一课时的基础上,本节课的教学可按以下环节逐步展开:,1.,知识回顾,回想知识,加强记忆
11、、理解。,2.,新课引入,动手实践,发现新知。,3.,新课讲解,互助合作,探索性质,判别。,4.,训练应用,强化训练,加深应用。,5.,拓展延伸,类比菱形,探索正方形。,6.,小 结,综合思想,归纳思路。,7.,作 业,综合知识,强化训练。,下面就每个环节,逐层分析。,32,第一环节:知识回顾,第二环节:新课引入,第三环节:新课讲解,第四环节:训练应用,第五环节:拓展延伸,第六环节:感悟与收获,第七环节:布置作业,33,特殊平行四边形,(,二,),34,知识回顾,性质,判别,边,角,线,平行四边形,平行相等,邻角互补,对角相等,互相平分,1,、,2,、,3,、,4,、,矩形,平行相等,全为直角
12、,互相平分且相等,1,、,2,、,3,、,35,菱形定义,:,想一想,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,试一试:你能用折纸的方式得到一个菱形吗?折纸的过程中你发觉菱形有何特性?总结一下。,36,菱形的特点:,边:,对角线:,四条边都相等,对边平行,互相垂直平分,且每条对角线平分每一组对角,以小组为单位讨论、证明菱形的这些性质定理。,37,证明:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角,试一试,A,B,C,D,1,2,O,已知:,菱形,ABCD,中,,AC,、,BD,相交与点,O,,,求证:,AC,BD,,且,AC,、,BD,分别平分每一组对角。,38,A,B,C,D,1,2,O,证明:
13、,菱形,ABCD,中,,BO=OD,,而,ABD,中,,AB=AD,,,BO=OD,,,AO BD,,,1=2,(三线合一),即:,AC,BD,,,1=2,同理可得,AC,、,BD,平分每一组对角,39,想一想,以上的证明过程中你用到了哪些知识?进一步体验折纸过程,折叠之后的三角形具有什么特点?你有何体会?,证明:菱形的面积等于其对角线乘积的一半。,40,A,B,C,D,O,练一练,例,2,:,如图,四边形,ABCD,是边长为,13,厘米的菱形,其中对角线,BD,长,10,厘米,求:,(,1,)对角线,AC,的长度,(,2,)菱形,ABCD,的面积,41,试一试,以小组为单位,回想、探讨菱形的
14、判别方法,并证明其相关结论,42,练一练,1,、下面是菱形具有而矩形不具有的性质为:,A,、对边平行,B,、对角相等,C,、对角线互相平分,D,、对角线互相垂直,2,、菱形的两条对角线的长分别为,6,厘米和,8,厘米,则其周长为,,面积为,。,3,、菱形的周长为,40,厘米,它的一条对角线长为,10,厘米,则它的另一条对角线长为,。,43,练一练,A,B,C,D,E,F,O,1,2,3,4,4,、先阅读下列题目及小明给出的证明。再根据要求回答下列问题:,已知,:,如图:在平行四边形,ABCD,中,,A,的平分线与,BC,交于点,E,,,B,的平分线与,AD,边交于点,F,,,AE,与,BF,相
15、交于,O,求证:四边形,ABEF,是菱形,44,A,B,C,D,E,F,O,1,2,3,4,证明,(,1,),四边形,ABCD,是平行四边形,(,2,),ADBC,(,3,),ABE=BAF=180,(,4,),AE,、,BF,分别是,BAF,、,ABE,的平分线,(,5,),1=2=BAF/2,3=4=ABE/2,(,6,),1+3=180 /2=90,(,7,),AOB=90,(,8,),AE BF,(,9,),四边形,ABEF,是菱形,问:,1,、上述证明是否正确?,2,、如果有错误,指出在第,步到第,步推理错误,应在第,步后添加如下证明过程:,。,45,议一议,如果想探讨正方形的性质、
16、判别方式,你会从那些方面入手来解决这个问题?,小组讨论一下,你们会得到那些性质、判别,你们能迅速的思考出证明方法吗?,46,47,作业,总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判别方式,比较其异同点,加深理解、认识区别。,48,板书设计,特殊平行四边形(二),平行四边形,矩 形,菱 形,性质,定义,判别,边,对角线,A,B,C,D,例,2,:,证明:,证明过程,49,特殊平行四边形(三),在认真学习“矩形、菱形、正方形基本知识”的基,础上,第三节的教学可按以下步骤逐步展开:,1,、课前复习,梳理知识点,对比特点,加深理,解,作好铺垫。,2,、探究交流,自我探索,归纳知识,交流成果,3,、拓
17、展延伸,开拓思维,强化探索过程,4,、综合应用,联系生活,激发兴趣,强化探索,应用,5,、小结,体会探索过程,疏理探索思路,6,、视野窗,开阔眼界,综合知识,体会,原,本,价值,50,特殊平行四边形,(,三),51,回顾与思考,性质,判别,平行四边形,对边平行相等,对角相等,对角线互相平分,1,、,2,、,3,、,4,、,矩形,四角都是直角,对角线相等,1,、,2,、,3,、,菱形,四条边相等,对角线互相垂直,1,、,2,、,3,、,正方形,四角相等,四边相等,对角线相等、互相垂直平分,矩形,+,菱形,52,想一想,在学习第一节平行四边形的时候,曾研究过这样一道题目:,任做一个四边形,并将其四
18、边的中点依次连接起来,得到一个新的四边形,这个新的四边形的形状有何特征?怎样证明?,(,1,)猜想一下,如果依次连接矩形各边中点能得到什么图形?,(,2,)连接菱形各边中点呢?连接正方形各边中点呢?连接平行四边形各边中点呢?,画图试一试,设法证明你的猜想。,53,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,54,经历上述猜想、探索、证明过程,你有何体会?有什么发现?,依次连接四边形各边中点所得的四边形形状与哪些线段有关系?有怎样的关系?对所有的四边形都适应吗?你能用文字语言将你的成果表达出来,让大家一起分享吗?,55,练一练,A,B,C,D,E,F,G,H,如图:梯形,AB
19、CD,中,,AB,CD,,,E,、,F,、,G,、,H,分别是梯形,ABCD,边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点,当梯形,ABCD,满足,条件时,,四边形,EFGH,是菱形。证明你的发现。,56,A,B,C,D,E,F,G,H,2,、如图:四边形,ABCD,中,,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AD,、,BD,、,BC,、,AC,的中点,顺次连接,E,、,F,、,G,、,H,,得到的四边形是一个怎样的四边形?,若四边形,E,、,F,、,G,、,H,是一个菱形,则四边形,ABCD,应满足什么条件?,思考与探索,57,做一做,A,B,C,D,X,如图:,ABCDXA,表示一条环行高
20、速公路,,X,表示一座水库,,B,、,C,表示两个大市镇。已知,ABCD,是一个正方形,,XAD,是一个等边三角形。假使政府要铺设两条输水管,XB,和,XC,,从水库,向,B,、,C,两个市镇供水,那么这两条水管的夹角(即,BXC,)是多少度?,58,59,视野窗,60,欧几里得及其,原理,在数学上,我们已经了解了很多有关图形方面的知识和结论,“全等”“相似”“三角形内角和”“勾股定理”等等都是我们所熟悉的。另外,我们还接触到了“公理”“定理”“推论”等一系列术语,同时我们也学会了证明,由已知结论经逻辑推理得到新结论。然而,除了这些,你了解我们教科书上的几何内容的背景吗?,实际上,我们教科书上
21、的许多几何内容都源于欧几里得的,原本,。,欧几里得是古希腊数学家,他生于雅典,当时,由于实际的需要,人们已经积累了大量丰富的几何再系知识,如一些平面图形和立体图形的面积和体积计算方法、物体高度的测量、,的近似值的计算等等。,61,另一方面,古希腊是逻辑学的发祥地,随着逻辑学的不断发展,促使人们逐渐重视逻辑的方法重新整理大量零散的几何知识,使他们成为一个逻辑体系。许多数学家参与了这一工作,欧几里得是其中最突出的代表。,他选择了一些命题作为公理,这些命题都是无须证明的。因为我们知道,在证明一个命题之前,总要用到排在它前面的已知其正确性的命题,而所用到的这些命题又需要另外一个命题作保证,这样总有一些
22、命题是不能证明的,即“原始命题”,也就是前面所说的公理。因此,公理就像一个水系中的源头一样,从任何一个支流或者支流的支流出发,逆着水流的方向都可以找到他们的源头。同样,殴几里得还给出一系列定义,这些定义原则上是用已有的概念去定义新的概念,因此必然有一些概念是无法定义的,即“原始概念”。,62,这样,整个欧几里得几何体系就由两个体系组成:由“原始体系”(即公理)推出一系列定理;由“原始概念”定义的一系列概念。,原本,正是呈现这一几何体系的鸿篇巨制。它汇集了大量前人积累的几何知识,采用了前所未有的独特编写方式,在公理、定理的基础上,由简到繁地证明了一系列定理。殴几里得的这一几何系统称为欧几里得几何
23、,简称欧氏几何。欧几里得建立其几何体系的方法称为公理化方法。,翻开我们的教科书,看看,证明(,),证明(,=,),证明(),是不是也就是从定理和定义出发,推出一系列定理及推论的?事实上,自从,原本,问世后,它的内容就曾经或仍然是许多国家中学几何课的 重点学习素材。不仅如此,它所体现的公理化方法对数学及其他学科都产生了深远的影响。,63,板书设计,特殊平行四边形(三),性质,判别,平行四边形,对边平行相等,对角相等,对角线互相平分,1,、,2,、,3,、,4,、,矩形,四角都是直角,对角线相等,1,、,2,、,3,、,菱形,四条边相等,对角线互相垂直,1,、,2,、,3,、,正方形,四角相等,四边相等,对角线相等、互相垂直平分,矩形,+,菱形,做一做,A,B,C,D,X,解题过程,:,64,65,