第五讲平面向量的概念及运算.doc

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高一数学必修四 平面向量
第五讲 平面向量的概念及坐标运算
第一学时 自主学习课
【文本研读及学法指导】
1、先精读一遍必修四教材P74-P100，用红笔进行勾画，再结合【知识梳理】部分二次阅读并回答提出的问题；
2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论、质疑；
3、重点理解的内容：平面向量的基本运算
【知识梳理】
考点1：向量及与向量相关的基本概念
1．平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有_____________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的_______表示向量的大小，用_____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.
特别提醒：
1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.
2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b

对于零向量与任一向量a，有 aa a
（2）法则： ，
（3）运算律： ，
2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作= a, = b, 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：
1) 表示a - b强调：差向量“箭头”指向被减数
2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a +(-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a - b = a + (-b) a - b
3.实数与向量的积（向量的数乘）：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ=0时，λa= .
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb.
特别提醒：
1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
2) 重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.
4.重难点：.
问题1: 相等向量与平行向量的区别

问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别

问题3：对于两个向量平行的充要条件：

考点2：平面向量的基本定理与坐标表示
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的____向量， _ 一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。
特别提醒：
(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 …………，
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示 与相等的向量的坐标也为
特别地，，，
特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则= ，= 。
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若和实数，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹
∥ (¹)的充要条件是
5.疑难点：
（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种
问题1：和= (3,－4)平行的单位向量是_________；
演练检测
一、平面向量的概念及其运算
1.下列判断正确的是
(1)零向量没有方向 (2)若 (3)单位向量都相等
(4)向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则 2.若，则等于（ ）

A． B． C． D．
3.正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
4.在中，已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5.在中，E、F分别是AB和AC的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6. 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值

二、平面向量的基本定理及坐标表示
7.若向量，，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知且，试求点和的坐标
9.已知向量，则与同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
10.已知，则线段AB中点的坐标是
11.若三点共线，求
12.若向量与相等，已知，则的值为（ ）
A．-1 B．-1或-4 C．4 D．1或4

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