平面向量的概念及其线性运算2.doc

课题
平面向量的概念及其线性运算2
学习目标
1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
重点难点
掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
导 学 过 程
备 注
知识点自测1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有 又有 的量；向量的大小叫作向量的 (或称 )
平面向量是自由向量
零向量
长度为 的向量；其方向是
记作
单位向量
长度等于 的向量
非零向量a的单位向量为
平行向量
方向 或 的非零向量
0与任一向量 或
共线向量
的非零向量又叫作共线向量
相等向量
长度 且方向 的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度 且方向 的向量
0的相反向量为
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：
a＋b＝b＋a.
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差

法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3. 共线向量定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
探究1：(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于
A.－ B.＋ C.＋ D.－
(2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于 (　　)
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
变式1：(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于 (　　)
A．2－ B．－＋2 C.－ D．－＋
(2)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 (　　)
A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0
探究2, 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

变式2. (1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于 (　　)
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
(2)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于 A．a B．b C．c D．0
探究3. 如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

1 / 2