限时集训(二十四)-平面向量的概念及其线性运算.doc

限时集训(二十四)　平面向量的概念及其线性运算

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.
2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则＋＝________.
3．(2013·镇江模拟)已知向量p＝＋，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是________．
4．已知四边形ABCD中，＝，||＝||，则这个四边形的形状是________．
5.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为________．
6．(2012·徐州期中)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋＝________.
7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
9．(2013·淮安期中)设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.
10．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λCM时， ＝，试确定λ的值．

12．(满分14分)已知P为△ ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，.

13.(满分16分)设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
求证：A、C、D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

14．(满分16分)设点O在△ABC内部，且有4＋＋＝0，求△ABC的面积与△OBC的面积之比．

答案

[限时集训(二十四)]
1．解析：∵＝－＝a－b，又＝
3，
∴＝＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
答案：a＋b
2.解析：如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.
答案：0
3．解析：与均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值2，当它们反向时，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]．
答案：[0,2]
4．解析：由＝可知AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形．由||＝||知对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形．
答案：矩形
5．解析：(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.
答案：
6．解析：由题意得＝＋＝＋
，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
答案：－
7．解析：由＝3得4＝3＝
3(a＋b)，
＝a＋b，
所以＝(a＋b)－＝
－a＋b.
答案：－a＋b
8．解析：∵＝＋，＝＋，
∴λ＝λ＋λ.
＝＋，
∴μ＝μ＋μ，
∴＝＋＝＋，则
∴λ＋μ＝.
答案：
9．解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k＝±4.
答案：±4
10．解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝，因为AD为中线，则＋＝2＝3，所以m＝3.
答案：3
11．解：∵＝－＝( M＋)＝，
又＝－＝＋λ，
∵＝，∴＋λ＝，
即λ＝(－)＝.
∴λ＝.
12．解：∵＝－＝－a，
＝－＝－b，
又3＋4＋5＝0.
∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
∴＝a＋b.
设＝t (t∈R)，
则＝ta＋tb.①
又设＝k (k∈R)，
由＝－＝b－a，
得＝k(b－a)．
而＝＋＝a＋.
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，②
由①②得解得t＝.
代入①得＝a＋b.
∴＝a＋b，＝a＋b.
13．解：(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线．
又∵与有公共点C，
∴A、C、D三点共线．
(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A、C、D三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即
3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得
解得λ＝，k＝.
14．解：取BC的中点D，连结OD，
则＋＝2，
又4＝－(＋)＝－2，
即＝－，
∴O、A、D三点共线，且||＝2||，
∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，
∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2.