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课时提升作业(二十四)
一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a,b,均有|a|-|b|<|a|+|b|;
②对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;
③在△ABC中,+-=0;
④在四边形ABCD中,(+)-(+)=0;
⑤在△ABC中,-=.
(A)①②③ (B)②④⑤
(C)②③④ (D)②③
2.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则( )
(A)+=0
(B)+=0
(C)+=0
(D)++=0
3.(2021·玉林模拟)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则=( )
(A)2-
(B)-+2
(C)-
(D)-+
4.(2021·株洲模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则( )
(A)P,A,B三点共线 (B)P,A,C三点共线
(C)P,B,C三点共线 (D)以上均不正确
5.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中{an}为等差数列,则a2011等于( )
(A)-1 (B)1 (C)- (D)
6.(2021·钦州模拟)已知a=(-1,3),b=(x,-1),若a∥b,则x等于( )
(A)3 (B)-3 (C)- (D)
7.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )
(A)(2,0) (B)(0,-2) (C)(-2,0) (D)(0,2)
8.(力气挑战题)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )
(A)(x-1)2+(y-2)2=5
(B)3x+2y-11=0
(C)2x-y=0
(D)x+2y-5=0
9.(2021·黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α+β,则α+β的最大值是( )
(A) (B) (C) (D)
10.(2021·绥化模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点,且=+t,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是( )
(A)0<t< (B)0<t<
(C)0<t< (D)0<t<
二、填空题
11.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为 .
12.如图,在正六边形ABCDEF中,已知=c,=d,则= (用c与d表示).
13.如图,在□ABCD中,=a,=b,=3,M是BC的中点,则= (用a,b表示).
14.(2021·温州模拟)给出以下四个命题:
①四边形ABCD是菱形的充要条件是=,且||=||;
②点G是△ABC的重心,则++=0;
③若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是等腰梯形;
④若||=8,||=5,则3≤||≤13.
其中全部正确命题的序号为 .
三、解答题
15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:
(1)求3a+b-2c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
答案解析
1.【解析】选D.①假命题.∵当b=0时,|a|-|b|=|a|+|b|,∴该命题不成立.
②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,
∴a-b与b-a是相反向量.
③真命题.∵+-=-=0,
∴命题成立.
④假命题.∵+=,+=,
∴(+)-(+)
=-=+≠0,
∴该命题不成立.
⑤假命题.∵-=+=≠,
∴该命题不成立.
2.【解析】选B.如图,依据向量加法的几何意义+=2⇔P是AC的中点,故+=0.
3.【解析】选A.∵2+=0,
∴2(-)+(-)=0,
∴+-2=0,∴=2-.
4.【解析】选B.∵+=2,
∴-=-,
即=,
∴P,A,C三点共线.
5.【解析】选D.由于A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011==.
6.【解析】选D.由a∥b,得(-1)×(-1)=3x,即x=.
7.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),
设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
则由解得
∴a=0m+2n,
∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).
8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可以求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),依据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解.
【解析】选D.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
于是
由③得β=1-α代入①②,消去β得
再消去α得x+2y=5,
即x+2y-5=0.
【一题多解】由平面对量共线定理得当=α+β,α+β=1时,A,B,C三点共线.
因此,点C的轨迹为直线AB,
由两点式求直线方程得=,
即x+2y-5=0.
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧
平面对量的学问在解决平面几何中的问题时应用格外广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要留意图形中的线段、向量是如何相互转化的.
9.【思路点拨】建立坐标系,设P(x,y),求出α+β与x,y的关系,运用线性规划求解.
【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).
∴=(x,y),=(0,1),=(3,0).
∵=α+β,
即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),
∴∴
∴α+β=+y.
由线性规划学问知在点C(1,1)处+y取得最大值.
10.【解析】选D.如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,
由=+t可知,
P点落在EF上,而=,
∴点P在E点时,t=0,
点P在F点时,t=.而P在△ABC的内部,∴0<t<.
11.【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知=,
即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,
∴D(0,-2).
答案:(0,-2)
12.【解析】连接BE,CF,设它们交于点O,则=d-c,
由正六边形的性质得===d-c.
又=d,
∴=+=d+(d-c)=d-c.
答案:d-c
13.【解析】由题意知=+
=+=-
=-(+)
=--=-+
=-a+b.
答案:-a+b
14.【解析】对于①,当=时,四边形ABCD为平行四边形,又||=||,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则=,且||=||,故正确;对于②,若G为△ABC的重心,则++=0,故不正确;对于③,由条件知=-,所以∥且||>||,又||=||,故四边形ABCD为等腰梯形,故正确;对于④,当,共线同向时,||=3,当,共线反向时,||=8+5=13,当,不共线时3<||<13,故正确.综上,正确命题的序号为①③④.
答案:①③④
15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).
(2)∵a=mb+nc,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
(3)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.
【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x,使两向量,共线.
(2)当两向量与共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?
【解析】(1)=(x,1),=(4,x).
∵∥,
∴x2-4=0,即x=±2.
∴当x=±2时,∥.
(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
∴∥.此时A,B,C三点共线,
从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.
但x=2时,A,B,C,D四点不共线.
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