2022高考总复习(人教A版)高中数学-第六章-不等式、推理与证明-第3讲-基本不等式.docx

第3讲　基本不等式

1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)假如和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
[做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．
答案：2　

1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不行；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都．
2．活用几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．
ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
2．“a>0且b>0”是“≥”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5

__利用基本不等式证明不等式__________

　已知a>0，b>0，a＋b＝1，
求证：≥9.
[证明]　法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b时取“＝”．
∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．
法二：＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋，
∵a，b为正数，a＋b＝1，
∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．
于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．
∴≥1＋8＝9，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
　在本例条件下，求证＋≥4.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
∴＋≥4.
[规律方法]　利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种状况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
　　　1.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．
∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
__利用基本不等式求最值(高频考点)______

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．
高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：
(1)知和求积的最值；
(2)知积求和的最值；
(3)求参数的值或范围．
　(1)当0<x<时，函数y＝x(1－2x)的最大值为________．
(2)(2022·高考重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2　　　　　　 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
(3)(2021·吉林长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2，4)
D．(－4，2)

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基本不等式
[解析]　(1)∵0<x<，∴1－2x>0，
则y＝·2x(1－2x)≤＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取到等号，
∴ymax＝.
(2)由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.
(3)x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4<m<2.
[答案]　(1)　(2)D　(3)D
[规律方法]　利用基本不等式求最值时，要留意其必需满足的三个条件：一正二定三相等．
(1)“一正”就是各项必需为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必需把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”即检验等号成立的条件，推断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．
　　　2.(1)当x＞0时，f(x)＝的最大值为__________．
(2)若x<3，则函数f(x)＝＋x的最大值为________．
(3)已知函数y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m，n>0，则3m＋n的最小值为________．
(4)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为________．
解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴3－x>0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2＋3
＝－1，
当且仅当＝3－x，
即x＝1时，等号成立．
故f(x)的最大值为－1.
(3)易知函数y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A(－3，－1)．又由于点A在直线＋＝－1上，所以＋＝1.所以3m＋n＝(3m＋n)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当m＝n时，等号成立，所以3m＋n的最小值为16.
(4)由于a>0，b>0，1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时等号成立．又由于a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋.由于f(t)在上单调递减，所以f(t)min＝f＝，此时a＝2b＝.
答案：(1)1　(2)－1　(3)16　(4)
__利用基本不等式解决实际问题________

　小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)由于每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0<x<8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，
此时，当且仅当x＝时，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
∵9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．
[规律方法]　应用基本不等式解实际问题的步骤：①理解题意，设变量；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④写出正确答案．
　3.某化工企业2022年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
解：(1)由题意得，y＝，
即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

考题溯源——基本不等式的实际应用

　　　(2022·高考福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
[解析]　设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x>0)．由于x＋≥2＝4，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．
[答案]　160
[考题溯源]　本题源于教材人教A版必修5 P99例2“某工厂要建筑一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．假如池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？”只对题目数字作一变动，其解法完全相同．
　如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
解：(1)设DN的长为x(x>0)米，
则|AN|＝(x＋2)米．
∵＝，
∴|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
由S矩形AMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得0<x<或x>6，
即DN长的取值范围是∪(6，＋∞)．(单位：米)
(2)矩形花坛的面积为y＝
＝
＝3x＋＋12(x>0)
≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝即x＝2时，矩形花坛的面积最小，为24平方米．

1．(2021·青岛模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：≤，则p是q成立的(　　)
A．必要不充分条件　　　　 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当p成立的时候，q确定成立，但当q成立的时候，p不愿定成立，所以p是q的充分不必要条件．
2．(2021·上海黄浦模拟)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：选C.当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当a＝b时，D不成立，因此只有选项C是正确的．
3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D.∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
4．(2021·湖北黄冈模拟)设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
解析：选A.由a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1.
由于a>1，b>0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3.
当且仅当＝，即a＝，b＝2－时取等号．
5．(2021·山东青岛质检)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
则函数f(x)＝(ex)*的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：选B.依题意可得f(x)＝(ex)*＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(ex)*的最小值为3，故选B.
6．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为________．
解析：由已知a4a14＝(2)2＝8.
再由等比数列的性质有a4a14＝a7a11＝8.
又∵a7>0，a11>0，
∴2a7＋a11≥2＝8.
当且仅当2a7＝a11时等号成立．
答案：8
7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5　8
8．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
解析：依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
答案：20
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0<x<2，
∴2－x>0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.

1．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.依据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，∵＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2<x<1，所以x的取值范围是(－2，1)．故选C.
2．(2021·高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0 B．1
C. D．3
解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，
∴＝＝≤＝1.
当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴＋－＝＋－＝－＋＝－＋1，∴当y＝1时，＋－的最大值为1.
3．(2021·云南统一检测)已知a>0，b>0，方程为x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则的最小值为________．
解析：该曲线表示以(2，－1)为圆心的圆，由题意知直线ax－by－1＝0经过圆心(2，－1)，则2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1，所以＝＋＝(2a＋b)＝＋＋7≥2＋7＝4＋7(当且仅当a＝2－，b＝2－3时等号成立)．
答案：4＋7
4．(2022·高考湖北卷)某项争辩表明：在考虑行车平安的状况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)假如不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
(2)假如限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
解析：(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．
(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2 000.当且仅当v＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．
答案：(1)1 900　(2)100
5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
6．(选做题)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，接受了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？假如获利，求出最大利润；假如不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，由于x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．