(北京专用)2019版高考数学一轮复习-第五章-平面向量-第一节-平面向量的概念及其线性运算-文.ppt

节平面向量的概念及其线性运算总纲目录教材研读1.向量的有关概念考点突破2.向量的线性运算3.共线向量定理考点二向量的线性运算考点二向量的线性运算考点一向量的有关概念考点三共线向量定理的应用考点三共线向量定理的应用1.向量的有关概念向量的有关概念教材研读教材研读名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量的线性运算向量运算的常用结论向量运算的常用结论(1)在ABC中,D是BC的中点,则=(+);(2)O为ABC的重心的充要条件是+=0;(3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则+=2.3.共线向量定理共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得b=a.1.下列说法正确的是()A.就是所在的直线平行于所在的直线B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量答案答案C包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D错.C2.(2016北京西城期末)设M是ABC所在平面内一点,且=,则=()A.-B.+C.(-)D.(+)答案答案DM是ABC所在平面内一点,且=,M为BC的中点,=(+).故选D.D3.(2017北京海淀二模)已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若ab,则x=()A.-3B.-C.D.答案答案Ba=(x,1),b=(3,-2),且ab,-2x-3=0,x=-.B4.(2017北京海淀期中)在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若=+,则-=.答案答案解析解析在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,因为=+=+=-+=+=+=+,所以=,=1,所以-=,故答案为.考点一向量的有关概念考点一向量的有关概念考点突破考点突破典例典例1给出下列命题:(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且ab;(5)如果ab,bc,那么ac.其中假命题的个数为()A.2B.3C.4D.5B答案答案B解析解析(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由|a|=|b|推不出a=b.(2)正确.若=,则|=|且.又A、B、C、D是不共线的四点,四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且与方向相同,因此=.(3)正确.a=b,a、b的长度相等且方向相同.b=c,b、c的长度相等且方向相同.a、c的长度相等且方向相同,a=c.(4)不正确.当ab,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故不是a=b的充要条件.(5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.易错警示易错警示(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是a方向上的单位向量.1-1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|答案答案C因为向量的方向与向量a相同,向量的方向与向量b相同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a=2b时,=,故a=2b是=成立的充分条件.C1-2给出下列命题:两个具有公共终点的向量一定是共线向量.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.若a=0(为实数),则必为零.若a=b(,为实数),则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案C错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向量的模均为实数,故可以比较大小.错误,当a=0时,无论为何值,均有a=0.错误,当=0时,a=b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.C1-3如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与相等的向量有.答案答案,典例典例2(1)(2017北京西城一模)在ABC中,点D满足=3,则()A.=+B.=-C.=+D.=-(2)(2016北京海淀期末)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=+,则+的值为()考点二向量的线性运算考点二向量的线性运算A.B.-C.1D.-1答案答案(1)C(2)A解析解析(1)点D满足=3,=+=+=+(-)=+.故选C.(2)因为E为DC的中点,所以=+=+=+(+)=+,故=-+,所以=-,=1,所以+的值为.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.方法指导方法指导2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式.(3)比较、观察可知所求.2-1在ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=()A.b+cB.c-bC.b-cD.b+c答案答案D由题意可知=-=b-c,=2,=(b-c),则=+=+=c+(b-c)=b+c.故选D.D2-2(2017北京海淀一模)在ABC中,点D满足=2-,则()A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上答案答案D=2-=+-=+.如图,以B为始点,作=,连接AD,则+=+=.D和D重合,点D在CB的延长线上,故选D.D典例典例3设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.考点三共线向量定理的应用考点三共线向量定理的应用解析解析(1)证明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,共线,又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,k-=k-1=0.k2-1=0.k=1.1.共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.(2)若a,b不共线,则a+b=0的充要条件是=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.方法技巧方法技巧2.证明三点共线的方法若=,则A、B、C三点共线.变式变式3-1若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则m为何值时,A、B、D三点共线?解析解析+=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即=4a+(m-3)b.若A、B、D三点共线,则存在实数,使=,即4a+(m-3)b=(a+b),解得m=7.故当m=7时,A、B、D三点共线.