高考数学总复习(讲+练+测)：专题5.1平面向量的概念及线性运算(讲).pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 01 节平面向量的概念及线性运算【考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测1.平面向量的实际背景及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。2013浙江理7;2014?浙江文 22;2015?浙江理 15;2016?浙江文理 15;1.以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；2.考 查 单 位 向 量 较多.3.备考重点：(1)理 解 相 关 概 念是基础，掌握线性运算的方法是关键；(2)注 意 与 平 面 几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.2.向量的线性运算掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。2013浙江 7;2015?浙江文 13,理.15;2016?浙江文理 15;【知识清单】1向量的概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0 的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1 个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量对点练习：给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小0a (为实数)，则必为零其中错误的命题的个数为()A1 B2 C3 D0【答案】B故选B.2平面向量的线性运算一向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：ab ba ；(2)结合律：(+()abcabc)+减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当 0 时，a的方向与a的方向相同；当0，k1.【考点深度剖析】平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现【重点难点突破】考点 1 向量的有关概念【1-1】给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若ABCD，是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线正确ABDC，|AB|DC|且ABDC.又ABCD，是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形反之，若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD且AB与DC方向相同，因此ABDC.不正确两向量不能比较大小不正确当0 时，a与b可以为任意向量，满足a b，但a与b不一定共线选C.【领悟技法】(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定(3)几个重要结论向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量【触类旁通】【变式一】给出下列命题：ab的充要条件是|ab|且ab/；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学若向量a与b同向，且|ab|，则a b；由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；任一向量与它的相反向量不相等其中真命题的序号是_【答案】考点 2 平面向量的线性运算【2-1】如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF等于（）A1123ABAD B1142ABADC1132ABDA D1223ABAD【答案】D【解析】11123223ABADADABABAD,故选 D.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【领悟技法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解【触类旁通】【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C，BM13BC，CN13CD，OAa，OBb，用a、b表示OM、ON、MN.【答案】OM=16a56b,ON23a23b，MN12a16b.【解析】BAab，BM16BA16a16b，OMOBBM16a56b，ODab，ONOCCN12OD16OD23OD23a23b，MNONOM12a16b.考点 3 共线向量【3-1】在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD13CACB，则 等于()A.23B.13 C13D23【答案】A小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】CDCAAD，CDCBBD，2CDCACBADBD.【领悟技法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合【触类旁通】【变式一】已知P是ABC所在平面内的一点，若CBPAPB，其中 R，则点P一定在()AABC的内部 BAC边所在直线上 CAB边所在直线上 DBC边所在直线上【答案】B【解析】由CBPAPB得CBPBPA，CPPA.则,CP PA为共线向量，又,CP PA有一个公共点PCPA，、三点共线，即点P在直线AC上故选B.【易错试题常警惕】易错典例：下列四个命题：若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则a与b同向或反向；若a0，则a0.其中正确命题的序号为_易错分析：概念理解不清致误小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：温馨提醒：(1)易忽略 0与 0 的区别，把零向量 0误写成 0 而致误(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a|b|误推出ab等(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数 与 形 反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过 以形助数 或以数解形 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2017 安徽马鞍山二模】已知P?Q为ABC中不同的两点，且32PAPBPC0，QAQBQC0，则:PABQABSS为（）A.1:2 B.2:1 C.2:3 D.3:2【答案】A 因此13QABABCSS，1:2PABQABSS，故选 A.