等比数列的前n项和教学设计.doc

[教学设计]

等比数列的前n项和第一课时
一、教材分析。
（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A版）第二章第5节第一课时,是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。
二、学情分析。
（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。
（2）教学对象：高二文科重点班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。
（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
三、教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：
（1）知识技能目标———理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。
（2）过程与方法目标———通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
（3）德育目标———培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。
四、重点,难点分析。
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。
五、教法与学法分析.
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。
六、课堂设计
（一）创设情境，提出问题。（时间设定：3分钟）
阅读P55故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令管粮仓的大臣计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点]
问题1：西萨要的是多少粒小麦？
引导学生写出麦粒总数：  S64=1+21+22+23+…+262 + 263          （1）  
（二）师生互动，探究问题[4分钟]
问题2：怎样求出这个和？
有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。）
问题3：这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到另一式：2S64=2+22+23+24+…+ 263+ 264 (2)
比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：(1)、(2)两式有许多相同的项）
问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？
[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇]。这时，老师向同学们介绍错位相减法。
问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么（1）式两边要同乘以2呢？
[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫]
（三）类比联想，解决问题。[时间设定：8分钟]
问题7：设{an}为等比数列，如何求它的前n项和？
学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。
公式的推导方法一（错位相减法）：
一般地，设等比数列a1+a2+a3+…+ an，它的前n项和是：
Sn=a1+a2+a3+…+ an 由an=a1qn-1,得
Sn=a1+a1q+a1q2+…+ a1qn-2+ a1qn-1 (1)，两乘以q得
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+ a1qn-1+ a1qn (2)
∴（1-q）Sn= a1- a1qn
∴当时，Sn=a1(1-qn) /(1-q) ① 或Sn=a1-anqn) /(1-q) ②
当q=1时，Sn=na1
   [设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验]
（四）分析比较，开拓思维。[时间设定：4分钟]
公式的推导方法二（定义法）：
由等比数列的定义有：a2/a1=a3/a2=…=an/an-1=q
根据等比的性质有：(a2+a3…+an)/(a1+a2+…+an-1)=q，∴(Sn-a1)/(Sn-an)=q
即 （结论同上）
☆围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式。
公式的推导方法三（从第二项提取公因式法）
＝
＝＝（结论同上） 
将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有以上几种方法：
【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】
（五）归纳提炼，构建新知.[时间设定：5分钟]
问题8:由(1-q) Sn= a1- a1qn 得Sn=a1(1-qn) /(1-q) ，对不对？这里的q 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？这时是什么数列？此时Sn=？
【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】．
问题9:如何选用公式解答问题P56例1
学生归纳出:
1、 已知一个等比数列的每一项，求其前n项和。先求出a1、q、n ,后求Sn
2、 已知一个等比数列中的a1、an ，先求q ,再求Sn, 选用公式(2)
【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】
（六）层层深入，掌握新知。[时间设定：13分钟]
【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、快” 练习，通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征】
问题10P58练习1（1）（2）；优P 36例1。
【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力，掌握公式中“知三求二”的题型】
（先由学生独立求解，然后抽三位学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。)
●补充练习：有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元，以后每个月的工资是上月工资的2倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的选择是否正确？
【设计意图：让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．】
（七）总结归纳，加深理解。[时间设定：2分钟]
（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？
（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？
【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构】
（八）课后作业，巩固提高。[时间设定：1分钟]
必做：课本P61习题A组的第1（1）（2）、4（2）题
选做：求和：（2+5）+（4+52）+（6+53）+（8+54）+…+（2n+5n）
【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”又为学有余力者留有自由发展的空间】
板书设计: §2.5等比数列的前n项和
当q=1时，
当时，Sn=a1(1-qn) /(1-q) ① 或Sn=a1-anqn) /(1-q) ②
P56例1，
练习：1、P58练习1(1)(2);
2、优P 36例1（方程思想）
小结：按目标进行。
作业：课本P61习题A组的第1（1）（2）、4（2）题
附加：求：（2+5）+（4+52）+（6+53）+（8+54）+…+（2n+5n）的和。