重积分直角坐标系下二重积分的计算.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,预备知识：,(1),曲顶柱体,体积：,(2),在直角坐标下，,x,二重积分,(3),平行截面面积为已知的立体的体积,如果积分区域为,（,1,）,X,型区域,1.,对积分区域的讨论：,X-,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不,多于两个,交点,.,1.,直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为,（,2,）,Y,型区域,Y-,型区域的特点：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交,不多于两个,交点,.,可以用平行于坐标轴的直线,(3),一般区域：,把,D,分解成有限个,x-,型区域,或,y-,型区域,2.,二重积分的计算公式：,通常写成：,如果积分区域为,y-,型,：,类似的有：,通常写成：,计算二重积分需要注意以下几点：,(1),在计算二重积分时，首先根据已知条件确定,积分区域,D,是,x-,型,还是,y-,型,区域，由此确定将,二重积分化为,先,y,后,x,的二次积分还是,先,x,后,y,的二次积分。,(2,),当积分区域,D,既是,x-,型区域，又是,y-,型,区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积,分顺序：,先,y,后,x,先,x,后,y,(3),如果用平行于坐标轴的直线与积分区域,D,的,则必须分割区域,D,根据二重积分的性质,交线多于两个交点，,如图。,解法一：,D,为,X-,型区域,二重积分化为,先,y,后,x,的二次积分,解法二：,D,为,Y-,型区域,二重积分化为,先,x,后,y,的二次积分,解,将,D,化为,X-,型区域,将,D,化为,Y-,型区域,D,为,X-,型区域,解：画出积分区域,D,的图形,.,求出各个交点，如图,将,D,化为,X-,型区域,将,D,化为,Y-,型区域,这样计算量 就比,X-,型区域的计算量大的多,因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。,D,为,y-,型区域,解,将,D,化为,X-,型区域,无法用初等函数表示,无法积分,.,将,D,化为,Y-,型区域,解,积分区域由两个,y-,型区域构成,转化积分区域为,Y-,型,区域,积分区域为,X-,型,区域,解,由原积分知，积分区域为,两个,Y-,型区域,转化积分区域为,X-,型,区域,解,积分区域由两个,X-,型区域构成,转化积分区域为,Y-,型,区域,的次序,.,二重积分在直角坐标下的计算,（在积分中要正确选择,积分次序,）,小 结,Y,型,X,型,解,积分区域为,X-,型,区域,（如图）,故 原式,转化积分区域为,Y-,型,区域,改变积分,的次序,.,练 习,