10.2在极坐标系下计算二重积分省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,二重积分在,极坐标系,下计算,第二节 二重积分计算（2）,4.将直角坐标化为极坐标,1、,积分区域,(,极点为外点,),2、,积分区域,（,极点为边界点,）,3、,积分区域,（,极点为内点,）,第1页,三、利用极坐标计算二重积分,故在,极坐标系,下,用,同心圆,r,=常数,及,射线,=常数,分划区域,D,为,则面积元素为,第2页,即二重积分在极坐标下公式：,由直角坐标和极坐标之间关系：,第3页,二重积分在极坐标下公式：,问题1,：怎样二重积分需要在极坐标下计算？,积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等,被积函数形式,问题2,：怎样在极坐标下计算二重积分？,第4页,在极坐标下计算二重积分,1、,积分区域,(,极点为外点,),D:,第5页,第6页,例2.计算,其中,D,为由圆,所围成,及直线,解：,平面闭区域.,第7页,2、,积分区域如图：,D:,（,极点为边界点,）,第8页,第9页,例4.,计算,其中D是,解:,D是关于,x轴对称,，,是关于,Y奇函数,，,第10页,3、,积分区域如图：,D:,（,极点为内点,）,第11页,例5.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,原函数不是初等函数,故本题无法用直角,因为,故,坐标计算.,第12页,注:,利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用反常积分公式,实际上,当,D,为 R,2,时,利用例4结果,得,故式成立.,第13页,例6.,求球体,被圆柱面,所截得(含在柱面内)立体体积.,解:,设,由对称性可知,z=0,a,x,y,z,o,维望尼曲线,D,第14页,内容小结,二重积分化为累次积分方法,1、直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,第15页,则,2、极坐标系情形:,若积分区域为,3.改变积分次序题型,4.直角坐标化为极坐标题型,第16页,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽可能多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,第17页,练习10.2：,2.,已知,3.,计算,4.,计算,其中D是由,所围成在第一象限内闭区域。,求,1.,计算,D,是圆域,第18页,1.,计算,D,是圆域,解：,即求积分区域面积,利用,线性性质：,和积分等于积分之和,在利用,积分区域对称、被积函数奇偶性,相关结论,第19页,2.,已知,求,解：利用对称性及二重积分性质可知,第20页,3、计算,0,x,y,1,解：,将积分区域D化为极坐标,第21页,4.,计算,其中D是由,所围成在第一象限内闭区域。,第22页,综合题：,计算,其中:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解:,(1),利用对称区间奇偶性，得,围成.,第23页,综合题：,计算,其中:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,围成.,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,第24页,