在极坐标系下计算二重积分文档.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分,二重积分在,极坐标系,下的计算,第二节 二重积分的计算（2）,4.将直角坐标化为极坐标,1、,积分区域,(,极点为外点,),2、,积分区域,（,极点为边界点,）,3、,积分区域,（,极点为内点,）,1,三、利用极坐标计算二重积分,故在,极坐标系,下,用,同心圆,r,=常数,及,射线,=常数,分划区域,D,为,则面积元素为,2,即二重积分在极坐标下的公式：,由直角坐标和极坐标之间的关系：,3,二重积分在极坐标下的公式：,问题1,：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？,积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等,被积函数形式,问题2,：如何在极坐标下计算二重积分？,4,在极坐标下计算二重积分,1、,积分区域,(,极点为外点,),D:,5,6,例2.计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,7,2、,积分区域如图：,D:,（,极点为边界点,）,8,9,例4.,计算,其中D是,解:,D是关于,x轴对称,，,是关于,Y的奇函数,，,10,3、,积分区域如图：,D:,（,极点为内点,）,11,例5.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,12,注:,利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当,D,为 R,2,时,利用例4的结果,得,故式成立.,13,例6.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,z=0,a,x,y,z,o,维望尼曲线,D,14,内容小结,二重积分化为累次积分的方法,1、直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,15,则,2、极坐标系情形:,若积分区域为,3.改变积分次序的题型,4.直角坐标化为极坐标的题型,16,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,17,练习10.2：,2.,已知,3.,计算,4.,计算,其中D是由,所围成的在第一象限内的闭区域。,求,1.,计算,D,是圆域,18,1.,计算,D,是圆域,解：,即求积分区域的面积,利用,线性性质：,和的积分等于积分之和,在利用,积分区域对称、被积函数奇偶性,相关结论,19,2.,已知,求,解：利用对称性及二重积分的性质可知,20,3、计算,0,x,y,1,解：,将积分区域D化为极坐标,21,4.,计算,其中D是由,所围成的在第一象限内的闭区域。,22,综合题：,计算,其中:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解:,(1),利用对称区间奇偶性，得,围成.,23,综合题：,计算,其中:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,围成.,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,24,