含多球铰间隙并联机构动力学建模与响应分析.pdf

第 44 卷第 8 期2023 年 8 月哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报Journal of Harbin Engineering UniversityVol.44.8Aug.2023含多球铰间隙并联机构动力学建模与响应分析陈修龙,张昊(山东科技大学 机械电子工程学院,山东 青岛 266590)摘 要:为了分析多个球铰间隙对并联机构动力学响应的影响,本文以 3-SPS-S 空间并联机构为研究对象,在 Flores法向接触力模型和改进的 Coulomb 摩擦力模型的基础上,推导出球铰间隙处的碰撞力模型。采用 Lagrange 乘子法建立了含多个球铰间隙的并联机构动力学模型。利用 Matlab 软件,通过四阶 Runge-Kutta 解法求解此模型,分析球铰间隙如何影响机构的动力学响应,并应用 ADAMS 软件虚拟样机仿真。研究表明:球面副间隙对动平台角加速度和间隙处的碰撞力影响较大,且间隙数量越多,机构稳定性越差。本文为考虑多个球铰间隙并联机构刚体动力学模型的建立和响应分析提供理论依据,对准确的预测和控制含球铰间隙机构的动力学特性具有重要意义。关键词:并联机构;多球铰间隙;Lagrange 乘子法;动力学模型;碰撞力模型;四阶 Runge-Kutta 法;动力学响应;虚拟样机仿真DOI:10.11990/jheu.202111041网络出版地址:https:/ 文献标志码:A 文章编号:1006-7043(2023)08-1397-09Dynamic modeling and response analysis of parallel mechanisms with spherical hinge clearanceCHEN Xiulong,ZHANG Hao(College of Mechanical and Electronic Engineering,Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266590,China)Abstract:A 3-SPS-S spatial parallel mechanism is taken as the research object to analyze the influence of multiple spherical hinge clearances on the dynamic response of parallel mechanisms.The model of the collision force at the spherical joint clearance is derived on the basis of the Flores normal contact force model and the improved Coulomb friction model.The Lagrange multiplier method is applied to establish the dynamic model of parallel mechanisms with multiple spherical joint clearances.By using the software Matlab,the fourth-order Runge-Kutta is utilized to solve the model and analyze how ball joint clearance affects the dynamic response of the mechanisms.The software ADAMS is applied for virtual prototype simulation.This work provides a theoretical basis for the establishment and response analysis of the rigid body dynamic model of parallel mechanisms with multiple spherical hinge clearances.The study shows that the spherical pair clearance has a significant impact on the angular acceleration of the moving platform and the collision force at the clearance.The more clearances there are,the less stable the mechanism is.Accurately predicting and controlling the dynamic characteristics of mechanisms with multiple spherical hinge clear-ances is of great importance.Keywords:parallel mechanisms;multiple spherical hinge clearance;Lagrange multiplier method;dynamics mod-el;collision force model;fourth-order Runge-Kutta method;dynamic response;virtual prototype simulation收稿日期:2021-11-24.网络出版日期:2023-05-18.基金项目:国家自然科学基金项目(52275115);山东省自然科学基金项目(ZR2022ME040).作者简介:陈修龙,男,教授,博士生导师.通信作者:陈修龙,E-mail:cxldy99 .并联机器人具有结构紧凑、可承受载荷大、自身惯性小等优点1-3,并联机构是并联机器人的骨架。球铰连接能使机构实现 3 个方向的转动,转动范围大,灵活性好,在并联机构中应用广泛4,受到加工精度、装配需要等因素影响,球铰之间必然会产生间隙,间隙的产生会使并联机构产生噪声和振动,降低运动精度,缩短机构的使用寿命5。因此,为了分析机构的动力学响应,建立含球铰间隙的并联机构动力学模型,对于预测机构在实际使用中的动力学行为具有重要意义。目前,在对机构的运动副间隙研究领域,大多数国内外学者的研究针对的是含间隙的平面机构,对含间隙空间并联机构的研究较少。Song 等6提出了一种含多个转动副间隙的平面多体动力学建模方哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报第 44 卷法,并用 ADAMS 软件仿真验证其正确性;Chen等7分析了含转动副间隙的曲柄滑块机构的动态特性;Ma 等8建立了含多个转动副间隙的平面多体动力学模型,研究多间隙对机构动力学响应的影响;郑恩来等9以含转动副润滑间隙的平面柔性多连杆系统为例,研究机构的动力学响应;Muvengei等10分析了考虑多个转动副间隙机构的动态响应特性;Wang 等11提出了一种含间隙多体系统动力学模型,分析了间隙位置、间隙数量对机构动态响应的影响;Zheng 等12研究了转动副间隙和柔性构件如何影响多连杆压力机的动力学特性;赵宽等13基于 Lagrange 方程,以含转动副间隙曲柄滑块机构为研究对象,分析了该机构的动力学响应特性;Wang等14研究了含单个球面副和柔性构件的空间4-SPS/PS 机构的动力学响应;陈修龙等15以 4-UPS-RPU 空间并联机构为研究对象,建立其含单个间隙的刚体动力学模型,研究间隙值大小对其动态特性的影响。本文选用空间并联机构三维模型 3-SPS-S 并联机构为研究对象,为了推导出准确的球铰间隙处的碰撞力模型,采用基于 Flores 法向接触力模型和改进的Coulomb 摩擦力模型的方法,并利用 Lagrange 乘子法建立含多个球铰间隙的并联机构动力学模型,将求解程序写入 Matlab 软件,从而计算得到动力学响应结果,并用 ADAMS 软件进行虚拟样机仿真验证。1 机构特征及球铰间隙模型 3-SPS-S 空间并联机构的三维模型如图 1 所示。该机构主要由定平台、动平台、3 条 SPS 结构的驱动支链和 1 条 S 结构的约束支链组成,驱动支链由伸缩杆和摆动杆构成,其中 S 表示球铰,P 表示移动副。图 1 3-SPS-S 空间并联机构三维模型Fig.1 Three dimensional drawing of 3-SPS-S spatial par-allel mechanism通过改进的 Kutzbach-Grubler 公式计算其自由度16,得出该机构有 3 个自由度,给 3 个驱动支链添加驱动后,能使动平台有确定的运动,约束支链的存在使得动平台沿 3 个方向的移动被限制,所以动平台能够实现 3 个方向的转动。此机构可作为指向机构和调姿机构的底座,实现对动平台姿态的精准控制。图 2 所示为球铰的间隙模型,g、h 分别表示与球窝和球头相连的 2 个构件,与构件 g、h 固连的 2个局部坐标系可分别表示为 Og-xgygzg和 Oh-xhyhzh,局部坐标系 Og-xgygzg和 Oh-xhyhzh的原点在定坐标系 OA-XAYAZA下的位置矢量可分别表示为 rg和 rh。Pg表示球窝中心,rPg为球窝中心在固定坐标系下的位置矢量表示;Ph表示球头中心,rPh为球头中心在固定坐标系下的位置矢量表示。Qg和 Qh分别表示球窝和球头的碰撞点,n 表示接触面的法向单位向量,t 表示接触面的切向单位向量。图 2 球铰间隙模型Fig.2 Clearance model of spherical hinge球头相对于球窝的偏心向量为17:e=rPh-rPg(1)偏心矢量的单位矢量为:n=e/e(2)其中,偏心幅值 e 为:e=eTe(3)穿透深度为:=e-c(4)式中:c 表示球头与球窝之间的间隙值,c=Rg-Rh;Rg和 Rh分别表示球窝与球头的半径。球头与球窝之间的碰撞状态可由穿透深度判断,当 0 时,球头与球窝之间为碰撞状态,当 0 时,球头与球窝之间为刚好接触或者为分离的状态。在数值计算过程中,球头与球窝间的碰撞状态为:(q,t)(q,t+t)0(5)当球头与球窝之间的状态满足式(5)且满足(q,t)0 时,在 t+t 时刻发生了碰撞。球窝、球头的碰撞点在定系下的位置矢量分别用 rQg和 rQh为:rQg=rPg+RgnrQh=rPh+Rhn(6)8931第 8 期陈修龙,等:含多球铰间隙并联机构动力学建模与响应分析 式(6)两边对时间 t 求一阶导数,得到球窝、球头的碰撞点在定系下的速度矢量为:vQg=vPg+RgnvQh=vph+Rhn(7)式中:vPg和 vPh分别为球窝中心、球头中心在定系下的速度矢量;n为偏心矢量的单位矢量的导数:n=ee-eee2(8)由式(7)可得在碰撞点处,球头相对于球窝的速度矢量,将此速度在接触面上投影,可得到球头相对于球窝的法向速度和切向速度,即:vn=(veh-vog)Tnnvt=(vQh-vQg)-vn(9)2 球铰间隙接触力模型及并联机构动力学模型的建立2.1 法向接触力模型的建立 Hertz 理论中两物体的纯弹性接触碰撞,没有考虑阻尼造成的能量损失18,L-N 接触力模型19适用于恢复系数近似为 1 的材料,而 Flores 接触力模型20对恢复系数无特殊要求,因此,本文采用 Flores接触力模型建立球头与球窝的接触力模型,表达式为:Fn=Kn1+8(1-ce)5ce-(10)式中:K 为刚度系数;ce为恢复系数;n 为设定的指数,对于金属材料设定为 1.5;为穿透深度,通过式(4)计算可以得到;为相对碰撞速度,通过对 求导可以得到;-为初始碰撞速度。式(10)中的刚度系数 K 为:K=43(g+h)RgRhRg-Rh(11)其中,球窝和球头的碰撞深度为:g=(1-v2x)/Egh=(1-v2h)/Eh(12)式中:vg和 vh分别表示球窝和球头的泊松比;Eg和Eh分别为球窝和球头的弹性模量。2.2 切向接触力模型建立 利用改进的 Coulomb 摩擦力模型21描述球头与球窝发生碰撞时的切向接触力,此模型引入系数cd,避免了切向速度在 0 附近方向发生改变而造成积分求解不稳定的情况:Ft=dcdFnvt|vt|(13)式中:d为滑动摩擦系数;cd为动态修正系数,取值依据为:cd=0,|vt|v2(14)式中的 v1和 v2为给定的速度极限值。通过对法向接触力和切向接触力求解,得到球头对球窝的接触力为:Fg=Fnn+Ftt(15)球窝作用于球头上的力与其方向相反:Fh=-Fg(16)接触力对构件 g 和 h 的质心处产生的力矩为:Mg=(rQg-rg)FgMh=(rQh-rh)Fh(17)2.3 坐标系的建立及转换 图 3 为 3-SPS-S 空间并联机构的结构简图,该机构由定平台、动平台、3 条呈 120均布的 SPS 驱动支链和中间 1 条约束支链组成,每个驱动支链中包含一个摆动杆和一个伸缩杆。定平台 A,摆动杆用1、2、3 表示,伸缩杆用 4、5、6 表示,动平台用 7 表示。通过球铰 Si(i=1,2,3)连接定平台与摆动杆,通过球铰 Sj(j=4,5,6)连接动平台与伸缩杆,通过移动副 Pi(i=1,2,3)连接摆动杆与伸缩杆,约束支链下方与定平台直接固连,上方通过球铰 S7与动平台连接。图 3 3-SPS-S 空间并联机构简图Fig.3 3-SPS-S spatial parallel mechanism定平台的质量 mA,在定平台的质心处建立固定坐标系 OA-XAYAZA,XA轴方向沿着定平台竖直方向向下,YA轴方向沿着固定坐标系原点 OA指向球9931哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报第 44 卷铰 S1的方向,ZA轴方向通过右手定则确定,在以 OA为圆心,rA为半径的圆上,布置有球铰 Si(i=1,2,3),每 2 个球铰之间呈 2/3 均布。动平台的质量 m7,在动平台的质心处建立局部坐标系 O7-X7Y7Z7,坐标系原点与球铰 S7的中心重合,X7轴方向沿着动平台竖直方向向下,Y7轴方向沿着局部坐标系原点 O7指向球铰 S4的方向,Z7轴方向通过右手定则确定,在以 O7为圆心,rB为半径的圆上,布置有球铰 Si(i=4,5,6),每2 个球铰之间呈 2/3 均布。摆动杆的质量 mi(i=1,2,3),长度 li(i=1,2,3),将杆长的中心点近似地看做质心,建立局部坐标系 Oi-XiYiZi(i=1,2,3),伸缩杆的质量用 mj(j=4,5,6)表示,长度用 lj(j=4,5,6)表示,同理,建立局部坐标系 Oj-XjYjZj(j=4,5,6)。通过欧拉角转换,将固定坐标系的姿态转换为局部坐标系的姿态,转换方式为 X-Y-Z,即:先绕 X轴旋转 角,再绕 Z 轴旋转 角,最后绕 Y 轴旋转 角。转换矩阵为:R(,)=R(X,)R(Z,)R(Y,)(18)2.4 动力学模型的建立 3-SPS-S 空间并联机构有 7 个活动构件,每个活动构件有 6 个广义坐标,包括位置和姿态。建立 7个活动构件的广义坐标为:q=qT1 qT2 qT3 qT4 qT5 qT6 qT7T(19)式中:qk=rTk TkT表示构件 k 的广义坐标;rk=xk yk zkT表示构件 k 的局部坐标系原点相对于定坐标系原点的位置矢量;k=k k kT表示构件 k 的局部坐标系相对于定坐标系的姿态转换。Si(i=1,2,3,6,7)和 Pi(i=1,2,3)分别表示球铰和移动副的约束方程,由于球铰 S4和球铰 S5存在间隙,使得球头和球窝的中心不再重合,在球头和球窝碰撞过程中会产生接触力,因此,这两处的约束方程被接触力取代。得到含多个球铰间隙的 3-SPS-S 空间并联机构的约束方程为:(q)=(S1;S2;S3;S6;S7;P1;P2;P3;Q)=0331(20)对式(23)关于时间求一次导数,得到速度约束方程:qq=-t v(21)式中:q表 示 约 束 方 程 的 Jacobian 矩 阵,即/q;q为广义坐标对时间求一次导数(广义速度);t为 约 束 方 程 对 时 间 的 一 次 导 数,即/t;v 表示速度约束方程的右侧。qq=-(qq)qq-2qtq-tt (22)式中:q表示广义坐标对时间求二阶导数,即广义加速度;(qq)q表 示 qq的 Jacobian 矩 阵,即(qq)/q;qt表示 q对时间的一阶导数,即q/t;tt表 示 t对 时 间 的 一 阶 导 数,即t/t;表示加速度约束方程的右侧。建立含多个球铰间隙的 3-SPS-S 空间并联机构的动力学方程为:Mq+Tq=Q(23)式中:为拉格朗日乘子;Q为构件的广义力矩阵。结合式(22)和式(23),得出微分代数形式的动力学方程为:MTqq0q=Q(24)对式(24)求解,可以得到 q和,在求解速度和位移时,没有直接利用位移约束方程和速度约束方程,而是通过积分求解得到速度和位移,在计算时会存在违约问题,影响结果的准确性,通过引入Baumgarte 系数22来解决,最终的计算公式为:MqTq0q=Q-2b-2b(25)式中:b和 b是大于 0 的修正系数,=ddt。将求解参数输入 Matlab 软件,通过四阶 Runge-Kutta 算法计算,利用 Ode45 求解器得到结果,流程如图 4 所示。3 含球铰间隙的 3-SPS-S 空间并联机构动力学响应分析3.1 并联机构的参数设定 3-SPS-S 空间并联机构的各个构件的参数由表1 列出,用 Matlab 软件进行动力学求解时,参数设定由表 2 列出。3-SPS-S 空间并联机构的动平台运动特征为绕x 轴、y 轴、z 轴方向的转动,采用运动学反解方法,先给定动平台运动轨迹为:=/6=/67.5-0.2-0.2cos(t)=/18.67-0.2sin(t)(26)利用 Matlab 软件进行数值求解得到机构的动力学响应图像,分析单个球铰间隙、多个间隙球铰间隙对机构动力学响应的不同影响。3.2 含间隙机构动力学响应的理论与仿真对比3.2.1 考虑5 号球铰间隙对机构动力学响应的影响 5 号球铰在含 0.05 mm 间隙情况下的动力学响应如图 5 9 所示,在角位移、角速度、角加速度方0041第 8 期陈修龙,等:含多球铰间隙并联机构动力学建模与响应分析面,将 Matlab 理论值与 ADAMS 仿真值进行对比,验证了结果的正确性。图 4 含间隙动力学求解流程Fig.4 Flow chart of dynamic solution with clearance表 1 3-SPS-S 空间并联机构的各构件参数Table 1 Parameters of 3-SPS-S spatial parallel mechanism参数数值参数数值定平台到球铰 S1,S2,S3中心的距离 rA/mm208动平台惯性张量 JB/(kg m2)0.190000.570000.56动平台到球铰 S4,S5,S6中心的距离 rB/mm100摆动杆惯性张量 J1,J2,J3/(kg m2)0.0260000.350000.35定平台中心到球铰 S7中心的距离 lx/mm230伸缩杆惯性张量 J4,J5,J6/(kg m2)0.250000.280000.28动平台中心到球铰 S7中心的距离 ls/mm180动平台质量 mB/kg8.9摆动杆长度 l1,l2,l3/mm286摆动杆质量 m1,m2,m3/kg1.1伸缩杆长度 l4,l5,l6/mm306伸缩杆质量 m4,m5,m6/kg0.73定平台质量 mA/mm10.2表 2 3-SPS-S 空间并联机构动力学求解参数Table 2 3-SPS-S spatial parallel mechanism dynamic solu-tion parameters参数数值参数数值球头半径 rh/mm10速度极限值 v1/(m/s)110-6间隙值 c/mm0.05速度极限值 v2/(m/s)110-4球头的弹性模量Eh/GPa207恢复系数 ce0.9球窝的弹性模量Eg/GPa90Baumgarte 系数 b5球头的泊松比 vh0.27Baumgarte 系数 b5球窝的泊松比 vg0.32Matlab 积分函数Ode45滑动摩擦系数 d0.1Matlab 积分步长/s110-3 图5(a)为动平台绕 角转动的角位移,从图中可以看出,动平台的转动角度范围-0.3540.046 rad,且含间隙情况与无间隙情况之间无明显偏差;图 5(b)为动平台绕 角转动的角位移,从图中可以看出,动平台的转动角度范围在-0.0320.369 rad,且含间隙情况与无间隙情况之间无明显偏差。图6 分别为动平台绕 角和绕 角转动的角速度,两者的角速度范围分别为-0.628 60.628 9 rad/s和-0.62830.629 rad/s,两者在开始时刻和波峰波谷处出现明显抖动,说明间隙对动平台的角速度产生了一定的影响,在理论值方面,绕 角转动的角速度最大波动量为 0.0360.19 rad/s,绕 角转动的角速度最大波动量为-0.045 5 rad/s。1041哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报第 44 卷图 5 单间隙下动平台角位移对比Fig.5 Single clearance moving platform displacement comparison图 6 单间隙下动平台角速度对比Fig.6 Single clearance moving platform velocity comparison 图 7 分别为动平台绕 角和 角转动的角加速度,从图中可以看出,在机构开始运动的瞬间,动平台的角加速度出现剧烈波动。分析图 7 可知,动平台绕 角的角加速度理论值峰值为29.67 rad/s2,仿真峰值为 20.96 rad/s2,随后慢慢趋于稳定,在0.6190.738 s 时间内,仿真曲线发生轻微波动。分析图 10 可知,动平台绕 角的角加速度理论值峰值为 68.7 rad/s2,仿真峰值为 64.08 rad/s2,随后慢慢趋于稳定,在 0.6140.716 s 时间内,仿真曲线发生轻微波动。图 7 单间隙下动平台角加速度对比Fig.7 Single clearance moving platform acceleration comparison 图 8 为球头与球窝之间的碰撞力,在初始时刻,机构由静止到突然发生碰撞,会使碰撞力达到峰值66.56 N,随后慢慢趋于稳定,在 0.901 37.256 N波动。图 9 为球头的中心轨迹图,在初始时刻,球头中心位于中间位置,随着机构运行,球头中心开始偏移并与球窝发生碰撞,最后相对于球窝发生很小范围摆动。3.2.2 考虑 4 号球铰和 5 号球铰间隙对机构动力学响应的影响 为了观测间隙球铰的数量对机构动力学响应的影响,将 4 号球铰和 5 号球铰添加 0.05 mm 间隙,利用 Matlab 软件绘制动平台响应图像,将理论结果和仿真结果进行对比从而验证结果的正确性。图 10 为多间隙下动平台绕 角和绕 角转动的角位移图像,和单间隙的情况相比,偏差明显增2041第 8 期陈修龙,等:含多球铰间隙并联机构动力学建模与响应分析加,但总体趋势保持稳定。图 8 球头与球窝的碰撞力Fig.8 Impact force between ball joint and ball socket图 9 球头中心轨迹Fig.9 Ball joint center track图 10 多间隙下动平台角位移对比Fig.10 Multi clearance moving platform displacement comparison 图 11 分别为多间隙下动平台绕 角和绕 角转动的角速度,由图像可以看出,在机构由静止到运动的瞬间以及波峰波谷位置会出现较为明显的偏差,说明多间隙对机构角速度的影响较大,其中,方向的最大偏差为 0.171 5 rad/s,方向的最大偏差为 0.121 2 rad/s。图 11 多间隙下动平台角速度对比Fig.11 Multi clearance moving platform velocity comparison 图 12 分别为多间隙下动平台绕 角和绕 角转动的角加速度,通过与单间隙对比可以发现,由于间隙之间的耦合作用,初始时刻加速度峰值明显下降,但随后运行过程中的波动点数量明显增加,机构稳定性降低。在理论值方面,方向的峰值为-4.586 rad/s2,方向的峰值为-3.167 rad/s2,在仿真值方面,方向的 峰 值 为-7.412 rad/s2,方 向 的 峰 值 为-3.04 rad/s2。可以看出理论值与仿真值之间有一定的差异,且后续的几个波动点的值也不是完全重合,但都在合理范围之内,图像总体趋势不变,说明结果正确。3041哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报第 44 卷图 12 多间隙下动平台角加速度对比Fig.12 Multi clearance moving platform velocity comparison4 结论 1)球铰间隙对动平台的角位移和角速度的影响较小,对角加速度和碰撞力的影响较大。2)含间隙球铰数量越多,机构的稳定性越差。本研究对并联机构中球铰的加工精度、装配误差的控制等方面具有重要的理论指导意义。参考文献:1 赵德胜,袁立行,吴荣军.考虑摩擦的含 S 副间隙 6-SPS 机构动力学分析J.华中科技大学学报(自然科学版),2017,45(6):79-84,107.ZHAO Desheng,YUAN Lixing,WU Rongjun.Dynamics analysis of 6-SPS parallel mechanism with S pairs clearance considering pairs friction J.Journal of Huazhong 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