北师大数学九年级-上册：第四章-《图形的相似》专题练习.docx

第四章 《图形的相似》专题练习
一．选择题
1．若 4x＝7y+5z，2x+y＝z，那么 x：y：z 的值为（
A．2：1：（﹣3） B．2：1：3 C．2：（﹣1）：3 D．3：2：1
2．如图，AB∥CD，AE∥F D，AE、FD 分别交 BC 于点 G、H，则下列结论中错误的是（
）
）
A．
3．如果 a：b＝3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，那么 b：c 等于（
A．4：3 B．3：4 C．2：3
B．
C．
D．
）
D．3：2
4．如图，△ABC 中 ，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC 缩小后得到△DEF，若 D（1，2），
△DEF 的面积为 4，则△ABC的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
5．如图，直线 l ∥l ∥l ，直线 AC 和 DF 被 l ，l ，l 所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则 DE
1
2
3
1
2
3
的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．

6．如图，已知∠ACD＝∠B，若 AC＝6，AD＝4，BC＝10，则 CD 长为（
）
A．
7．如图，在△ABC 中 ，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 在 AD 上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，
那么△ABE 与△ADC 的周长比为（
B．7
C．8
D．9
）
A．1：2
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中
心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 B 的对应点 B′的坐标是（
B．2：3
C．1：4
D．4：9
）
A．（﹣3，﹣1）
B．（﹣1，2）
D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1）
9．如图，在△ABC中，D E∥AB，且 ＝ ，则 的值为（
）
A．
B．
C．
D．

10．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等边△ABC 和等边△ADE，CD 分别与 BE、AE
交于点 P、M．对于下列结论：
①△CAM∽△DEM②AC2＝CP•CD．③AB•AD＝DM•BP，其中正确的是（
）
A．①
B．①②
C．①③
D．①②③
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点 M 在 AB 边上，且 AM＝3，过点 M 作直线
MN 与 AC 边交于点 N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ ．
12．如图，在 ABCD中，F 是 AD 延长线上一点，连接 BF 交 DC 于点 E，则图中的位似三角形
共有 对．
13．如图，已知△ADE∽△ABC，且 AD＝3，DC＝4，A E＝2，则 BE＝
．
14．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 AD＝1，DB＝2，则 的值为
．

15．如图，平行四边形 ABCD中 ，E 为 AD 的中点，已知△DEF 的面积为 1，则平行四边形 ABCD
的面积为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，
连结 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；② ＝ ；③DP2
＝PH PB；④
＝
．其中正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
三．解答题
17．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上
以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速
度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜2），连接 PQ．
（1）若△BPQ与△ABC 相似，求 t 的值；
（2）连接 AQ、CP，若 AQ⊥CP，求 t 的值．

18．已知：△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上一点，且 BE＝ AB．F 为 AC 上一点，且 CF
＝ AC，EF 交 AD 于 P．
（1）求 EP：PF 的值．
（2）求 AP：PD 的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（2，1）、B（1，
﹣2）．
（1）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出△OAB 的一个位似△OA B ，使它与△OAB
1
1
的相似比为 2：1，并分别写出点 A、B 的对应点 A 、B 的坐标．
1
1
（2）画出将△OAB向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后的△O A B ，并写出点 A、
2
2 2
B 的对应点 A 、B 的坐标．
2
2
（3）判断△OA B 与△O A B ，能否是关于某一点 M 为位似中心的位似图形？若是，请在
1
1
2 2 2
图中标出位似中心 M，并写出点 M 的坐标．

20．如图，在△ABC中，D 和 E 分别是 BC 和 AB 上的点，BE＝EC，联结 DE，EC 交 AD 于点 F，
且 AB•DC＝BC•FC．
（1）求证：△FCD∽△ABC；
（2）若 AF＝FD，求证：DE⊥BC．
21．如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且
＝
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）求∠ACB的大小．
22．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB＝2 米，它的影子 BC＝
1.6 米，木竿 PQ 的影子有一部分落在墙上，PM＝1.2 米 ，MN＝0.8 米，求木竿 PQ 的长度．

23．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，BE 是 AC 边上的中线，
点 D 在 BC 边上， ＝ ，AD 与 BE 相交于点 P，求 的值．
小昊发现，过点 C 作 CF∥AD，交 BE 的延长线于点 F，通过构造△CEF，经过推理和计算
能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答： 的值为
．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图 3，在△ABC 中 ，点 D 在 BC 的延长线上，
，点 E 在 AC 上 ，且
，点 E 在 AC 上，且
．求
，
的值；
（2）如图 4，在△ABC 中，点 D 在 BC 的延长线上，
直接写出 的值为
．

参考答案
一．选择题
1．解：∵2x+y＝z，
∴2x＝z﹣y，
∴4x＝2（z﹣y）＝7y+5z，
得出 y：z＝﹣1：3，
∵4x＝7y+5z，2x+y＝z，
∴6x＝6y+6z，
则 x＝y+z＝3﹣1＝2，
∴x：y：z＝2：﹣1：3．
故选：C．
2．解：A、∵AB∥CD，
∴
＝
，故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∞△CDH，
∴
∴
＝
＝
，
，
∵AB∥CD，
∴
∴
∴
∴
＝
＝
＝
＝
，
，
，
，故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形 AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，

∴
∴
，
＝
，故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∞△BAG，
∴
，故本选项符合题目要求；
故选：D．
3．解：∵a：b＝3：2，b 是 a 和 c 的比例中项，
即 a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
4．解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC 缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∵△DEF 的面积为 4，
∴△ABC 的面积为：4×4＝16．
故选：D．
5．解：∵直线 l ∥l ∥l ，
1
2
3
∴
＝
，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴ ＝
∴DE＝
，
，
故选：D．
6．解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴
，
∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，
∴
，

∴CD＝
．
故选：A．
7．解：∵AD：ED＝3：1，
∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴L ：L ＝2：3，
△ABE
△ACD
故选：B．
8．解：∵以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，
∴点 B（﹣9，﹣3）的对应点 B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
9．解：∵DE∥AB，
∴
∴
＝
＝ ，
的值为 ，
故选：A．
10．解：∵△ABC 和△ADE都是等边三角形，
∴∠4＝∠AED＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC，AD＝AE，
∴∠CAE＝60°，
∴AC∥DE，
∴△CAM∽△DEM，所以①正确；
在△ABE 和△ACD 中
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠6＝60°，∠2+∠5＝60°，
∴∠6＝∠5，
而∠BCP＝∠DCB，

∴△CBP∽△CDB，
∴CB：CP＝CD：CB，
即 CB ＝CP•CD，
2
∴AC ＝CP•CD，所以②正确；
2
∵∠DMA＝∠2+∠CAE＝∠2+60°，
而∠BCP＝∠2+∠3＝∠2+60°，
∴∠BCP＝∠DMA
而∠6＝∠5，
∴△CBP∽△MDA，
∴BC：DM＝BP：AD
即 BC•AD＝DM•BP
，
∴AB•AD＝DM•BP，所以③正确．
故选：D．
二．填空题（共 6 小题）
11．解：如图 1，当 MN∥BC 时，
则△AMN∽△ABC，
故
＝
＝
，
则 ＝
，
解得：MN＝4，
如图 2 所示：当∠ANM＝∠B 时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴
＝
，

即 ＝
，
解得：MN＝6，
故答案为：4 或 6．
12．解：位似的三角形是△FDE 与△FAB，△FDE 与△BCE，△ECB与△BAF
所以位似三角形共有 3 对．
13．解：∵AD＝3，DC＝4，
∴AC＝AD+DC＝3+4＝7，
∵△ADE∽△ABC，
∴
即
＝
，
＝ ，
解得 AB＝10.5，
∴DE＝AB﹣AE＝10.5﹣2＝8.5．
故答案为：8.5．
14．解：∵DE∥BC，
∴
＝
，
∵AD＝1，BD＝2，
∴AB＝3，
∴
＝ ，
故答案为： ．
15．解：∵四边形 ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S ：S ＝（ ） ，
△DEF
△BCF
又∵E 是 AD 中点，
∴DE＝ AD＝ BC，
∴DE：BC＝DF：BF＝1：2，
∴S ：S ＝1：4，
△DEF
△BCF
∴S ＝4，
△BCF
又∵DF：BF＝1：2，
∴S ＝2，
△DCF
∴S ＝2（S +S ）＝12．
ABCD
△DCF
△BCF
故答案为：12．
16．解：∵△BPC 是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形 ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
在△ABE 与△CDF 中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，

∴
＝
＝
＝
，故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，
∵∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴
＝
，
∴PD ＝PH•CD，
2
∵PB＝CD，
∴PD ＝PH•PB，故③正确；
2
如图，过 P 作 PM⊥CD，P N⊥BC，
设正方形 ABCD的边长是 4，
∵△BPC 为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∴∠PCD＝30°
∴PN＝PB•sin60°＝4×
＝2 ，PM＝PC•sin30°＝2，
S ＝S ﹣S ＝S +S ﹣S ＝ ×4×2 + ×2×4﹣ ×4×4＝4 +4
△BPD
四边形 PBCD
△BCD
△PBC
△PDC
△BCD
﹣8＝4 ﹣4，
∴
＝
，故④不正确；
故答案为：①②③．
三．解答题（共 7 小题）
17．解：根据勾股定理得：BA＝
（1）分两种情况讨论：
；
①当△BPQ∽△BAC时，
，

∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，
，解得，t＝
∴
，
∴
；
∴t＝1 或 时，△BPQ∽△BCA；
（2）过 P 作 PM⊥BC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，如图所示：
则 PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴
∴
，
，解得 t＝ ．
18．解：（1）分别作 EE ，FF 平行于 BC 且与 AD 交于 E 、F 两点．
1
1
1
1
则
＝
＝ ，
＝
＝ ，
又 BD＝CD，
∴
＝ ∴
＝
＝ ；
（2）设 AF ＝y，F P＝4x，PE ＝5x，E D＝z，
1
1
1
1
则
＝ ，
＝ ，
解得 y＝36x，z＝15x，

∴
＝
＝
＝ ．
19．解：（1）如图所示，A （4，2），B （2，﹣4）．
1
1
（2）如图所示，A （0，2），B （﹣1，﹣1）．
2
2
（3）△OA B 与△O A B 是关于点 M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．
1
1
2 2 2
20．（1）证明：∵BE＝E C，
∴∠ECB＝∠B，
∵AB•DC＝BC•FC，
∴
＝
，
∴△FCD∽△ABC．
（2）证明：∵△FCD∽△ABC，
∴
＝
，∠ADC＝∠ACB，
∴AD＝AC，
∵AF＝FD，

∴
∴
＝
＝ ，
＝ ，
∴BD＝DC，
∵BE＝EC，
∴DE⊥BC．
21．（1）证明：∵CD⊥A B，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵
＝
，
∴△ADC∽△CDB；
（2）解：∵△ADC∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
则∠ACB＝90°．
22．解：过 N 点作 ND⊥PQ 于 D，
可得△ABC∽△QDN，
∴
，
又∵AB＝2，BC＝1.6，PM＝1.2，NM＝0.8，
∴
，
∴PQ＝QD+DP＝QD+NM＝1.5+0.8＝2.3（米）．
答：木竿 PQ 的长度为 2.3 米．
23．解：如图 2，过点 C 作 CF∥AD，交 BE 的延长线于点 F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，

∵BE 为 AC 边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴
∴
＝ ，
＝ ，
故答案为： ；
（1）如图 3，过 A 作 AF∥BC，交 BP 延长线于点 F，
∴△AFE∽△CBE，
∴
∵
∴
，
，
，
设 AF＝3x，BC＝2x，
∵
，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴
＝
＝1；
（2）如图 4，过 C 作 CF∥AP 交 PB 于 F，
∴△BCF∽△BDP，
∴
，
设 CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，

∴
，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴
．
故答案为： ．

∵BE 为 AC 边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴
∴
＝ ，
＝ ，
故答案为： ；
（1）如图 3，过 A 作 AF∥BC，交 BP 延长线于点 F，
∴△AFE∽△CBE，
∴
∵
∴
，
，
，
设 AF＝3x，BC＝2x，
∵
，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴
＝
＝1；
（2）如图 4，过 C 作 CF∥AP 交 PB 于 F，
∴△BCF∽△BDP，
∴
，
设 CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，

∴
，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴
．
故答案为： ．

∵BE 为 AC 边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴
∴
＝ ，
＝ ，
故答案为： ；
（1）如图 3，过 A 作 AF∥BC，交 BP 延长线于点 F，
∴△AFE∽△CBE，
∴
∵
∴
，
，
，
设 AF＝3x，BC＝2x，
∵
，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴
＝
＝1；
（2）如图 4，过 C 作 CF∥AP 交 PB 于 F，
∴△BCF∽△BDP，
∴
，
设 CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，

∴
，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴
．
故答案为： ．

∵BE 为 AC 边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴
∴
＝ ，
＝ ，
故答案为： ；
（1）如图 3，过 A 作 AF∥BC，交 BP 延长线于点 F，
∴△AFE∽△CBE，
∴
∵
∴
，
，
，
设 AF＝3x，BC＝2x，
∵
，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴
＝
＝1；
（2）如图 4，过 C 作 CF∥AP 交 PB 于 F，
∴△BCF∽△BDP，
∴
，
设 CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，

∴
，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴
．
故答案为： ．