资源描述
2020-2021 学年第一学期期末测试
九年级数学试题
学校________
班级________
姓名________
成绩________
满分 150 分 时间 120 分钟
A 卷（共 100 分）
一．选择题（共 10 小题,满分 30 分,每小题 3 分）
1．（2020•宜宾模拟）如图所示几何体的左视图正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程 3x2﹣6x﹣1＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A．3,6,1
B．3,6,﹣1
C．3,﹣6,1
D．3,﹣6,﹣1
3．（2019 秋•北仑区期末）如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,AC＝4,AB＝5,则 sinB 的值是（
）
2
3
3
5
3
4
4
5
A．
B．
C．
D．
4．（2020•徐汇区二模）关于抛物线 y＝﹣x2+2x﹣3 的判断,下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2
5．（2020•南岗区校级三模）对于每一象限内的双曲线y= ,y 都随 x 的增大而增大,则m 的取值范围是（
）
A．m＞0
B．m＜0
C．m≥0
D．m≤0
6．（2019•望花区二模）小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所
示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从一个装有 2 个白球和 1 个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外,完全相同）,摸到红球
的概率
B．任意买一张电影票,座位号是 2 的倍数的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌,任意抽取一张,抽到黑桃的概率
7．已知如图,DE 是△ABC 的中位线,AF 是 BC 边上的中线,DE、AF 交于点 O．现有以下结论：
1
4
1
①DE∥BC；②OD=
；③ ＝ ；④
S
．
BC
AO FO
=
△AOD 4
其中正确结论的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2020•郑州模拟）太原是我国生活垃圾分类的 46 个试点城市之一,垃圾分类的强制实施也即将提上日
程．根据规定,我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类
垃圾的垃圾桶各 1 个,若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶,投
放正确的概率是（
）
1
1
8
1
1
A．
B．
C．
D．
6
12
16
9．（2019•朝阳区二模）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时,
会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 AB 的示意图中,记照板“内芯”的高度
为 EF．观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上,则下列结论中,正确的是（
）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
10．（2020•常德）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：
①b ﹣ ＞ ；② ＜ ；③ ＝ ；④ ﹣ ＞ ．
2 4ac 0 abc 0 4a+b 0 4a 2b+c 0
其中正确结论的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
二．填空题（共 4 小题,满分 16 分,每小题 4 分）
11．若 x﹣2y＝4,则 4x﹣8y﹣2＝
．
12．（2019 秋•雁江区期末）如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,∠ADE＝∠C,如果 AE＝4,△ADE
的面积为 5,四边形 BCED 的面积为 15,那么 AB 的长为
13．（2020•高邮市一模）若关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+4﹣m＝0 有两个相等的实数根,则 a+m﹣3 的值
为
．
14．（2019 秋•二道区期末）如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为 10m
时,桥洞与水面的最大距离是 5m．因为上游水库泄洪,水面宽度变为 6m,则水面上涨的高度为_______m．
三．解答题（共 6 小题,满分 54 分）
15．（12 分）（2019 秋•富锦市期末）计算
（1）（a﹣2） ﹣2（a﹣2）﹣15＝0
2
（2）（x﹣2） ＝4﹣2x
2
1
2
（3）√3cos 45°﹣sin30°tan60°+ sin60°
2
（4）（π﹣2018） +（sin60°） +|tan30°−√3|+√8
0
﹣1
3
16．（6 分）（2019 秋•辽宁月考）（1）画出下列几何体的三种视图（图 1）．
（2）如图 2,这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图,小正方体中的数字表示该位置的小立方体的个
数,请你画出它的主视图和左视图．
17．（8 分）（2020•龙华区二模）在“停课不停学”期间,小明用电脑在线上课,图 1 是他的电脑液晶显示器的
侧面图,显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度．研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上,且
望向显示器屏幕形成一个 18°俯角（即望向屏幕中心 P 的的视线 EP 与水平线 EA 的夹角∠AEP）时,对
保护眼睛比较好,而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2）时,观看屏幕最舒
适,此时测得∠BCD＝30°,∠APE＝90°,液晶显示屏的宽 AB 为 32cm．
（1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE；（结果精确到 1cm）
（2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC．（结果精确到 1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3,cos18°≈0.9,√2 ≈1.4,√3 ≈1.7）
18．（8 分）（2020•清江浦区一模）小明在上学的路上要经过多个路口,每个路口都设有红、黄、绿三种信号
灯,假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．如果有 2 个路口,求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇
到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．（10 分）（2019 秋•德州期末）在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y＝2x+b 的图象与 x 轴的交点为 A（2,0）,
与 y 轴的交点为 B,直线 AB 与反比例函数 y= 的图象交于点 C（﹣1,m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于 x 的不等式 2x+b＞ 的解集；
（3）点 P 是这个反比例函数图象上的点,过点 P 作 PM⊥x 轴,垂足为点 M,连接 OP,BP,当 S△ABM＝2S△OMP
时,求点 P 的坐标．
20．（10 分）（2019 秋•思明区校级期中）如图,在△ABC 中,∠ACB＝90°,CD 是高,BE 平分∠ABC．BE 分别
与 AC,CD 相交于点 E,F．
（1）求证：△AEB～△CFB；
（2）若 AE＝2EC,BC＝6．求 AB 的长．
B 卷（共 50 分）
四．填空题（共 5 小题,满分 20 分,每小题 4 分）
1
2
21．（2019 秋•长白县期末）已知,与抛物线 y= （x﹣1）2+3 关于原点对称的抛物线的解析式为
．
22．（2019 秋•涟源市期末）如图,在平面直角坐标系中,△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心
的位似图形,且点 B（3,1）,B′（6,2）,若点 A′（5,6）,则 A 的坐标为
．
23．小丽自己动手做了一个质地均匀的正方体,该正方体六个面完全相同,分别有整数 0,1,2,3,4,5,且每个面和
它所相对的数字之和均相等,小丽向上抛该正方体,落地后正方体朝上数字作为 a,它所对的面的数字作为
b,则函数 y＝ax2+bx+4 与 x 轴只有一个交点的概率为
．
24．（2020•盐池县模拟）抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0
的解为 ．
25．如图,OABC 是平行四边形,对角线 OB 在 y 轴正半轴上,位于第一象限的点 A 和第二象限内的点 C 分别在
双曲线 y= 1和 y= 2的一支上,分别过点 A、C 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 和 N,则有以下的结论：
1
①阴影部分的面积为 （
）；
k +k
1
2
2
②若 B 点坐标为（0,6）,A 点坐标为（2,2）,则 k ＝﹣ ；
8
2
③当∠AOC＝90°时,|k ＝
| |k |
1
2
④若 OABC 是菱形,则两双曲线既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称．
其中正确的结论是
（填写正确结论的序号）．
五．解答题（共 3 小题,满分 30 分）
26．（8 分）（2019 秋•洛川县期末）某商店以每件 40 元的价格进了一批热销商品,出售价格经过两个月的调
整,从每件 50 元上涨到每件 72 元,此时每月可售出 188 件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因,商家需尽快将这批商品售出,决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元,每个
月多卖出一件,设实际售价为 x 元,则 x 为多少元时商品每月的利润可达到 4000 元．
27．（10 分）（2020•成都模拟）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y＝ax2+bx+c
3,0）、B（2,0）两点,与 y 轴交于点 C（0,3）．
x A
的图象与 轴交于 （﹣
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E（m,2）是直线 AC 上方的抛物线上一点,连接 EA、EB、EC,EB 与 y 轴交于 D．
①点 F 是 x 轴上一动点,连接 EF,当以 A、E、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时,求出线段 EF 的长；
②点 G 为 y 轴左侧抛物线上一点,过点 G 作直线 CE 的垂线,垂足为 H,若∠GCH＝∠EBA,请直接写出点 H
的坐标．
28．（12 分）（2020•济宁模拟）正方形 ABCD 中,点 P 是边 CD 上的任意一点,连接 BP,O 为 BP 的中点,作 PE
⊥BD 于 E,连接 EO,AE．
（1）若∠PBC＝α,求∠POE 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2）用等式表示线段 AE 与 BP 之间的数量关系,并证明．
答案与解析
A 卷（共 100 分）
一．选择题（共 10 小题,满分 30 分,每小题 3 分）
1．（3 分）（2020•宜宾模拟）如图所示几何体的左视图正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：
故选：A．
2．（3 分）一元二次方程 3x2﹣6x﹣1＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A．3,6,1
B．3,6,﹣1
C．3,﹣6,1
D．3,﹣6,﹣1
【解答】解：一元二次方程 3x ﹣6x﹣1＝0 的二次项系数,一次项系数,常数项分别是 3,﹣6,﹣1．
2
故选：D．
3．（3 分）（2019 秋•北仑区期末）如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,AC＝4,AB＝5,则 sinB 的值是（
）
2
3
3
5
3
4
4
5
A．
B．
C．
D．
4
5
【解答】解：在 Rt△ABC 中,sinB=
= ,故选：D．
4．（3 分）（2020•徐汇区二模）关于抛物线 y＝﹣x2+2x﹣3 的判断,下列说法正确的是（
A．抛物线的开口方向向上
）
B．抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2
【解答】解：∵y＝﹣x +2x﹣3＝﹣（x﹣1） ﹣2,∴抛物线开口向下,对称轴为 x＝1,顶点坐标为（1,﹣2）,
2
2
在对称轴左侧,y 随 x 的增大而增大,∴A、B、C 不正确；∵抛物线顶点到 x 轴的距离是|﹣2|＝2,
∴D 正确,故选：D．
5．（3 分）（2020•南岗区校级三模）对于每一象限内的双曲线y= ,y 都随 x 的增大而增大,则 m 的取值范围
是（
）
A．m＞0
B．m＜0
C．m≥0
D．m≤0
【解答】解：∵对于每一象限内的双曲线y= ,y 都随 x 的增大而增大,∴m＜0,
故选：B．
6．（3 分）（2019•望花区二模）小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了
如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（
）
A．从一个装有 2 个白球和 1 个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外,完全相同）,摸到红球
的概率
B．任意买一张电影票,座位号是 2 的倍数的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌,任意抽取一张,抽到黑桃的概率
1
【解答】解：A、从一个装有 2 个白球和 1 个红球的不透明袋子中任意摸出一球,摸到红球的概率为 ≈0.33,
3
故此选项正确；
B、任意买一张电影票,座位号是 2 的倍数的概率不确定,但不一定是 0.33,故此选项错误；
1
C、掷一枚硬币,出现正面朝上的概率为 ,故此选项错误；
2
1
D、从一副去掉大小王的扑克牌,任意抽取一张,抽到黑桃的概率 ；故此选项错误．故选：A．
4
7．（3 分）已知如图,DE 是△ABC 的中位线,AF 是 BC 边上的中线,DE、AF 交于点 O．现有以下结论：
1
4
1
①DE∥BC；②OD=
；③ ＝ ；④
S
．
BC
AO FO
=
△AOD 4
其中正确结论的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：①如图,∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥BC．故①正确；
1
1
2
②如图,∵由①知,DE∥BC,∴△ADO∽△ABF,∴
=
= 则
, OD
BF．又
是
BC
边上的中线,
=
AF
2
1
2
1
4
∴BF＝CF= BC,∴OD= BC．故②正确；
1
1
2
③∵由②知,△ADO∽△ABF,∴
=
= ∴ =
, AO
∴ ＝ ．故③正确；
AF, AO FO
2
1
1
4
1
4 △
④∵由②知,△ADO∽△ABF,∴
=（ ） ＝（ ） = ∴
, S
ABF．又∵AF
是
BC
边上的
2
2
=
△AOD
S
2
1
2 △
1
8 △
中线,∴S△ABF= S ABC,∴S△AOD= S ABC．故④错误．
综上所述,正确的结论是①②③,共 3 个．故选：C．
8．（3 分）（2020•郑州模拟）太原是我国生活垃圾分类的46 个试点城市之一,垃圾分类的强制实施也即将提
上日程．根据规定,我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这
四类垃圾的垃圾桶各1 个,若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶,
投放正确的概率是（
）
1
1
1
1
A．
B．
C．
D．
6
8
12
16
【解答】解：回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A,B,C,D 表示,垃圾分别用
a,b,c,d 表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b,
画树状图如图：
共有 12 个等可能的结果,分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶,投放正确的结果有 1
1
个,∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶,投放正确的概率为 ；故选：C．
12
9．（3 分）（2019•朝阳区二模）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作
地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 AB 的示意图中,记照板“内芯”
的高度为 EF．观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上,则下列结论中,正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【解答】解：∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴
=
=
,故选：B．
10．（3 分）（2020•常德）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：
①b ﹣ ＞ ；② ＜ ；③ ＝ ；④ ﹣ ＞ ．
2 4ac 0 abc 0 4a+b 0 4a 2b+c 0
其中正确结论的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：由图象知,抛物线与 x 轴有两个交点,∴方程 ax +bx+c＝0 有两个不相等的实数根,
2
∴b ﹣4ac＞0,故①正确,
2
由图象知,抛物线的对称轴直线为 x＝2,∴− =2,∴4a+b＝0,由图象知,抛物线开口方向向下,
∴a＜0,∵4a+b＝0,∴b＞0,而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,∴c＞0,∴abc＜0,故②③正确,
由图象知,当 x＝﹣2 时,y＜0,∴4a﹣2b+c＜0,故④错误,
即正确的结论有 3 个,故选：B．
二．填空题（共 4 小题,满分 16 分,每小题 4 分）
11．（4 分）若 x﹣2y＝4,则 4x﹣8y﹣2＝ 14 ．
【解答】解：∵x﹣2y＝4,∴原式＝4（x﹣2y）﹣2＝16﹣2＝14．故答案为：14．
12．（4 分）（2019 秋•雁江区期末）如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,∠ADE＝∠C,如果 AE＝4,
△ADE 的面积为 5,四边形 BCED 的面积为 15,那么 AB 的长为 8
【解答】解：∵∠ADE＝∠C,∠DAE＝∠CAB,∴△ADE∽△ACB,∴
=（ ） ,
2
5
4
∵AE＝4,△ADE 的面积为 5,四边形 BCED 的面积为 15,∴515 =（ ） ,∴AB＝8．
2
故答案为 8．
13．（4 分）（2020•高邮市一模）若关于x 的一元二次方程 ax2+2ax+4﹣m＝0 有两个相等的实数根,则 a+m﹣
3 的值为 1 ．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 ax +2ax+4﹣m＝0 有两个相等的实数根,∴△＝b ﹣4ac＝4a（a﹣
2
2
4+m）＝0,∵a≠0,∴a﹣4+m＝0,∴a+m＝4,∴a+m﹣3＝4﹣3＝1．故答案为：1．
14．（4 分）（2019 秋•二道区期末）如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽
16
度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,则水面上涨的高度为
5
m．
【解答】解：如图：
以水面为 x 轴、桥洞的顶点所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,根据题意,得 A（5,0）,C（0,5）,
1
5
1
5
设抛物线解析式为：y＝ax +5,把 A（5,0）代入,得 a= − ,所以抛物线解析式为：y= − x +5,
2
2
16
16
16
5
当 x＝3 时,y= ,所以当水面宽度变为 6m,则水面上涨的高度为 m．故答案为 ．
5
5
三．解答题（共 6 小题,满分 54 分）
15．（12 分）（2019 秋•富锦市期末）计算
（1）（a﹣2） ﹣2（a﹣2）﹣15＝0
2
（2）（x﹣2） ＝4﹣2x
2
1
2
（3）√3cos 45°﹣sin30°tan60°+ sin60°
2
（4）（π﹣2018） +（sin60°） +|tan30°−√3|+√8
0
﹣1
3
【解答】解：（1）∵（a﹣2） ﹣2（a﹣2）﹣15＝0,∴（a﹣2﹣5）（a﹣2+3）＝0,即（a﹣7）（a+1）＝0,
2
则 a﹣7＝0 或 a+1＝0,解得 a＝7 或 a＝﹣1；
（2）∵（x﹣2） +2（x﹣2）＝0,∴（x﹣2）（x﹣2+2）＝0,即 x（x﹣2）＝0,则 x＝0 或 x﹣2＝0,
2
解得 x＝0 或 x＝2；
√2
1
2
1
2
√3
2
1
= √3 × −
2
√3 √3 √3 √3 √3
3
√
4
（3）原式= √3 ×（ ） − × √3 + ×
+
=
−
+
= ；
2
2
4
2
2
4
2
√3
√3
2 3
3
√3
3
4 3
3
√
√
√
（4）原式＝1+（ ） +| − 3|+2＝1+
﹣1
+ √3 − +2＝3+
．
2
3
16．（6 分）（2019 秋•辽宁月考）（1）画出下列几何体的三种视图（图 1）．
（2）如图 2,这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图,小正方体中的数字表示该位置的小立方体的个
数,请你画出它的主视图和左视图．
【解答】解：（1）图 1 所示的几何体的三种视图如图所示：
（2）图 2 是由小立方体搭成的几何体的俯视图,那么它的主视图、左视图如图所示：
17．（8 分）（2020•龙华区二模）在“停课不停学”期间,小明用电脑在线上课,图 1 是他的电脑液晶显示器的
侧面图,显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度．研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上,且
望向显示器屏幕形成一个 18°俯角（即望向屏幕中心 P 的的视线 EP 与水平线 EA 的夹角∠AEP）时,对
保护眼睛比较好,而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2）时,观看屏幕最舒
适,此时测得∠BCD＝30°,∠APE＝90°,液晶显示屏的宽 AB 为 32cm．
（1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE；（结果精确到 1cm）
（2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC．（结果精确到 1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3,cos18°≈0.9,√2 ≈1.4,√3 ≈1.7）
1
2
【解答】解：（1）由已知得 AP＝BP= AB＝16cm,在 Rt△APE 中,
16
16
0.3
∵sin∠AEP= ,∴AE=
=
≈
≈53,
答：眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE 约为 53km；
（2）如图,过点 B 作 BF⊥AC 于点 F,
∵∠EAB+∠BAF＝90°,∠EAB+∠AEP＝90°,∴∠BAF＝∠AEP＝18°,在 Rt△ABF 中,
AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8,BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6,
√3
3
∵BF∥CD,∴∠CBF＝∠BCD＝30°,∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×
≈5.44,
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．答：显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC 约为 34cm．
18．（8 分）（2020•清江浦区一模）小明在上学的路上要经过多个路口,每个路口都设有红、黄、绿三种信号
灯,假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．如果有 2 个路口,求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇
到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数,小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2,
2
9
所以小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率= ．
19．（10 分）（2019 秋•德州期末）在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y＝2x+b 的图象与 x 轴的交点为 A（2,0）,
与 y 轴的交点为 B,直线 AB 与反比例函数 y= 的图象交于点 C（﹣1,m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于 x 的不等式 2x+b＞ 的解集；
（3）点 P 是这个反比例函数图象上的点,过点 P 作 PM⊥x 轴,垂足为点 M,连接 OP,BP,当 S△ABM＝2S△OMP
时,求点 P 的坐标．
【解答】解：（1）将 A（2,0）代入直线 y＝2x+b 中,得 2×2+b＝0∴b＝﹣4,
∴一次函数的解析式为 y＝2x﹣4
将 C（﹣1,m）代入直线 y＝2x﹣4 中,得 2×（﹣1）﹣4＝m
∴m＝﹣6∴C（﹣1,﹣6）将 C（﹣1,﹣6）代入 y= ,得﹣6= −1,解得 k＝6
6
∴反比例函数的解析式为 y= ；
=
=
− 4
得{
= −1
= −6
= 3
（2）解{
或{ = 2,
6
∴直线 AB 与反比例函数 y= 的图象交于点 C（﹣1,﹣6）和 D（3,2）．如图,
由图象可知：不等式 2x+b＞ 的解集是﹣1＜x＜0 或 x＞3；
1
1
（3）∵S△ABM＝2S△OMP,∴ ×AM×OB＝6,∴ ×AM×4＝6∴AM＝3,且点 A 坐标（2,0）∴点M 坐标（﹣
2
2
6
1,0）或（5,0）∴点 P 的坐标为（﹣1,﹣6）或（5, ）．
5
20．（10 分）（2019 秋•思明区校级期中）如图,在△ABC 中,∠ACB＝90°,CD 是高,BE 平分∠ABC．BE 分别
与 AC,CD 相交于点 E,F．
（1）求证：△AEB～△CFB；
（2）若 AE＝2EC,BC＝6．求 AB 的长．
【解答】（1）证明：CD⊥AB,
∴∠ADC＝90°,∴∠A+∠ACD＝90°．∵∠ACD+∠BCF＝90°,∴∠A＝∠BCF．又∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE＝∠CBF,∴△AEB∽△CFB．
1
1
（2）解：过点 E 作 EM⊥AB 于点 M,如图所示．∵AE＝2EC,∴S△ABE＝2S△CBE,即 AB•EM＝2× BC•CE．∵
2
2
BE 平分∠ABC,∴EM＝CE,∴AB＝2BC＝12．
B 卷（共 50 分）
四．填空题（共 5 小题,满分 20 分,每小题 4 分）
1
2
21．（4 分）（2019 秋•长白县期末）已知,与抛物线 y= （x﹣1）2+3 关于原点对称的抛物线的解析式为
=
1
2
−
+ 1)2− 3 ．
【解答】解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数,
1
2
1
2
1
2
∴抛物线 y= （x﹣1） +3 关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y= （﹣x﹣1） +3,即 y= − （x+1）
2
2
1
2
﹣3．故答案为：y= − （x+1） ﹣3．
2
2
22．（4 分）（2019 秋•涟源市期末）如图,在平面直角坐标系中,△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位
似中心的位似图形,且点 B（3,1）,B′（6,2）,若点 A′（5,6）,则 A 的坐标为 （2.5,3） ．
【解答】解：∵点 B（3,1）,B′（6,2）,点 A′（5,6）,∴A 的坐标为：（2.5,3）．
故答案为：（2.5,3）．
23．（4 分）小丽自己动手做了一个质地均匀的正方体,该正方体六个面完全相同,分别有整数 0,1,2,3,4,5,且每
个面和它所相对的数字之和均相等,小丽向上抛该正方体,落地后正方体朝上数字作为 a,它所对的面的数
1
字作为 b,则函数 y＝ax +bx+4 与 x 轴只有一个交点的概率为
．
2
3
【解答】解：∵每个面和它所相对的数字之和均相等,∴0 与 5 相对,1 与 4 相对,2 与 3 相对,
画树状图如下：
共有 6 种情况,
当 a＝0 时,函数为 y＝5x+4,与 x 轴只有一个交点,令 y＝0,则 ax +bx+4＝0,
2
∵函数与 x 轴只有一个交点,∴△＝b ﹣4a×4＝b ﹣16a＝0,只有当 a＝1,b＝4 时满足,
2
2
2
6
1
3
∴函数 y＝ax +bx+4 与 x 轴只有一个交点的情况有 a＝0,b＝5；a＝1,b＝4 两种情况,P= = ．
2
1
故答案为： ．
3
24．（4 分（）2020•盐池县模拟）抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程﹣x2+bx+c
＝0 的解为 x ＝1,x ＝﹣3 ．
1
2
【解答】解：观察图象可知,抛物线 y＝﹣x +bx+c 与 x 轴的一个交点为（1,0）,对称轴为 x＝﹣1,
2
∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（﹣3,0）,∴一元二次方程 2x ﹣4x+m＝0 的解为 x ＝1,x ＝﹣3．
2
1
2
故本题答案为：x ＝1,x ＝﹣3．
1
2
25．（4 分）如图,OABC 是平行四边形,对角线 OB 在 y 轴正半轴上,位于第一象限的点 A 和第二象限内的点 C
分别在双曲线 y= 1和 y= 2的一支上,分别过点 A、C 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 和 N,则有以下的结论：
1
①阴影部分的面积为 （
）；
1
k +k2
2
②若 B 点坐标为（0,6）,A 点坐标为（2,2）,则 k ＝﹣ ；
8
2
③当∠AOC＝90°时,|k ＝
| |k |
1
2
④若 OABC 是菱形,则两双曲线既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称．
其中正确的结论是 ②④ （填写正确结论的序号）．
【解答】解：作 AE⊥y 轴于 E,CF⊥y 轴于 F,如图,
1
2
1
2
1
2
①∵S△AOM=
|k |, S 阴影部分＝S△AOM+S△CON
∴
= （
） 而 ＞
|k |+|k | , k 0,k 0,
＜
|k |,S
1
CON=
2
1
2
1
2
△
1
2
∴S
= （k ﹣k ）,故①错误；
1
2
阴影部分
②∵四边形 OABC 是平行四边形,B 点坐标为（0,6）,A 点坐标为（2,2）,O 的坐标为（0,0）．
, k xy
∴C（﹣2,4）．又∵点 C 位于 y= 2上 ∴ ＝ ＝﹣ × ＝﹣ ．故②正确；
2 4
8
2
③当∠AOC＝90°,∴四边形 OABC 是矩形,∴不能确定 OA 与 OC 相等,而 OM＝ON,∴不能判断△AOM≌
△CNO,∴不能判断 AM＝CN,∴不能确定|k |＝|k |,故③错误；
1
2
④若 OABC 是菱形,则 OA＝OC,而 OM＝ON,∴Rt△AOM≌Rt△CNO,∴AM＝CN,∴|k ＝
| |k |,
2
1
∴k ＝﹣k ,∴两双曲线既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称,故④正确．故答案是：②④．
1
2
五．解答题（共 3 小题,满分 30 分）
26．（8 分）（2019 秋•洛川县期末）某商店以每件 40 元的价格进了一批热销商品,出售价格经过两个月的调
整,从每件 50 元上涨到每件 72 元,此时每月可售出 188 件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因,商家需尽快将这批商品售出,决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元,每个
月多卖出一件,设实际售价为 x 元,则 x 为多少元时商品每月的利润可达到 4000 元．
【解答】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为 m,依题意,得：50（1+m） ＝72,
2
解得：m ＝0.2＝20%,m ＝﹣2.2（不合题意,舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为 20%．
1
2
（2）依题意,得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000,整理,得：x ﹣300x+14400＝0,
2
解得：x ＝60,x ＝240．
1
2
∵商家需尽快将这批商品售出,∴x＝60．答：x 为 60 元时商品每天的利润可达到 4000 元．
27．（10 分）（2020•成都模拟）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣
3,0）、B（2,0）两点,与 y 轴交于点 C（0,3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E（m,2）是直线 AC 上方的抛物线上一点,连接 EA、EB、EC,EB 与 y 轴交于 D．
①点 F 是 x 轴上一动点,连接 EF,当以 A、E、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时,求出线段 EF 的长；
②点 G 为 y 轴左侧抛物线上一点,过点 G 作直线 CE 的垂线,垂足为 H,若∠GCH＝∠EBA,请直接写出点 H
的坐标．
【解答】解：（1）将 A（﹣3,0）、B（2,0）、C（0,3）代入 y＝ax +bx+c 得,
2
1
2
1,
2
= −
0 =
{0 =
3 =
−
+
+
1
2
1
2
+ 解得：
∴抛物线的解析式为： = −
2
−
x+3；
,
y
= −
= 3
{
1
2
1
2
1
2
1
2
（2）①将 E（m,2）代入 y= − 2 − x+3 中,得−
2 − m+3＝2,解得 m＝﹣2 或 1（舍去）,
∴E（﹣2,2）,∵A（﹣3,0）、B（2,0）,∴AB＝5,AE= √5,BE＝2√5,∴AB ＝AE +BE ,
2
2
2
∴∠AEB＝∠DOB＝90°,∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°,∴∠EAB＝∠ODB,
（Ⅰ）当△FEA∽△BOD 时,
∴∠AEF＝∠DOB＝90°,∴F 与 B 点重合,∴EF＝BE＝2√5,
（Ⅱ）当△EFA∽△BOD 时,
∴∠AFE＝∠DOB＝90°,∵E（﹣2,2）,∴EF＝2,故：EF 的长为 2√5或 2；
4 13
5 5
44 5
9 9
②点 H 的坐标为（− , ）或（− , ）
,
（Ⅰ）过点 H 作 HN⊥CO 于点 N,过点 G 作 GM⊥HN 于点 M,
∴∠GMN＝∠CNH＝90°,又∠GHC＝90°,∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°,∴∠CHN＝∠
MGH,∵HN⊥CO,∠COP＝90°,∴HN∥AB,∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH,∵E（﹣2,2）,C（0,3）,∴直线
1
2
CE 的解析式为 y= x+3,∴P（﹣6,0）,∴EP＝EB＝2 ,
√5 ∴∠APE＝∠EBA,∵∠GCH＝∠EBA,∴∠GCH＝
∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH,∴GC∥PB,又 C（0,3）,
1
1
∴G 点的纵坐标为 3,代入 y= − 2 − x+3 中,得：x＝﹣1 或 0（舍去）,∴MN＝1,
2
2
1
= ,
2
∵∠AEB＝90°,AE= √5,BE＝2√5,∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH=
1
2
1
2
2
5
设 CN＝MG＝m,则 HN＝2m,MH= m,∴MH+HN＝2m+ m＝1,解得,m= ,
4
5
1
2
13
5
4 13
5 5
∴H 点的橫坐标为
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