2012高三数学一轮复习-函数与数列(Ⅱ)单元练习题.doc

高三数学单元练习题： 函数与数列（Ⅱ）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，若是一个定值，则中为定值的是 ▲ 。
2、在等比数列｛｝中,若,则的值是 ▲ 。
3、已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是 ▲ 。
4、在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 ▲ 。
5、若数列满足，若，则= ▲ 。
6、已知数列满足，（），则＝ ▲ 。
7、在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的
▲ 。
8、为等差数列的前n项和，若，则= ▲ 。

9、已知数列则 ▲ 。
10、已知数列,将的各项排成三角形状:

记表示第行第列的项,则= ▲ 。
11、已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和＝ ▲ 。
12、设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此
列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为 ▲ 。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式。
14、数列的首项
（1）求的通项公式； （2）设，比较的大小，其中为正整数。
15、已知数列{an}, a1=1, 点P(an, an+1) (n∈N+)在直线x－y+1=0上。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）函数(n∈N+)，且n≥2），求函数f(n)的最小值。
（3）设，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1+S2+S3+……+Sn－1=(Sn－1) g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
16、已知，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是.
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列的通项公式是…m)，求数列的前m项和Sm ；
（3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。
17、第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5， …， 4011， 4013， 4015
4，8， …， 8024， 8028
……
（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。记各行的公差组成数列．求通项公式；
（2）各行的第一个数组成数列，求数列所有各项的和。
参参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，若是一个定值，则中为定值的是 ▲ 。
2、在等比数列｛｝中,若，,则的值是 ▲ 。4
3、已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是 ▲ 。
4、在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 99
5、若数列满足，若，则=________________________
6、如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列，则此数列的通项公式为 __________

7、在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 19 .
8、为等差数列的前n项和，若，则= 4 ．
9、已知数列则＿5000；＿＿＿
10、已知数列,将的各项排成三角形状:

记表示第行第列的项,则=
A. B. C. D.
11、已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和＝ ▲ 。 820
12．设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此
列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集
合为_____________。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.
解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,
∴Sn=2n+1-1.
∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n≥2),
∴{an}的通项公式为an=

16、数列的首项．
（1）求的通项公式；
（2）设，比较的大小，其中为正整数．

17、已知数列{an}, a1=1, 点P(an, an+1) (n∈N+)在直线x－y+1=0上。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）函数(n∈N+)，且n≥2），求函数f(n)的最小值。
（3）设，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1+S2+S3+……+Sn－1=(Sn－1) g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

18、已知，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列的通项公式是…m)，求数列的前m项和Sm ； （3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。
解：（1）由知，x1+x2=1，则

故点P的纵坐标是，为定值。 （6分）
（2）已知…+…
又……
二式相加，得
…
因为…m-1)，故，
又，从而。 （12分）
（3）由得…①对恒成立。
显然，a≠0，
（ⅰ）当a<0时，由得。而当m为偶数时不成立，所以a<0不合题意；
（ⅱ）当a>0时，因为，则由式①得，
又随m的增大而减小，所以，当m=1时，有最大值，故 。 （18分）

19、（2008湖北）.已知数列和满足：
,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立，
即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<2.

20、第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5， …， 4011， 4013， 4015
4，8， …， 8024， 8028
……
（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。记各行的公差组成数列．求通项公式；
（2）各行的第一个数组成数列，求数列所有各项的和。
解． （1），
，则是等比数列，． 6′
（2），．
∴数列是等差数列，，所以 12′
数列所有各项的和S
S=0＋1＋2×2＋3×22＋……＋2007×22006
用错位相减法，得到S=1003×22008－119．

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用心 爱心 专心