江苏省东台中学高三数学一轮复习-专题一-第五讲-导数及其应用教案.doc

专题一 第五讲 导数及其应用
一、利用导数研究曲线的切线
例1.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 .
解析：由得：
即，∴∴，
∴切线方程，即.
例2. 已知曲线，过原点的直线与曲线相切，求直线的方程.
答案：或
注意：“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别
二、利用导数研究函数的单调性
例3.（2010·山东）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
解：（1） 当
因此，,又
所以曲线

（2）因为,所以
,令
①当时，所以
当时，>0，此时，函数单调递减；
当时，<0，此时，函数单调递增.
②当时，由，即，解得.
当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
当时， ，
时，,此时,函数单调递减
时，<0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
当时，由于,
时，,此时,函数单调递减；
时，<0,此时,函数单调递增.
综上所述
当时，在上单调递减;函数在上单调递增
当时,在上单调递减
当时，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.
三、利用导数研究函数的极值与最值
例4．函数在处有极值，则点为 ．
答案：（-4,11）
四、利用导数研究函数的图象
例5．设函数若关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围．
解：依题意，得在区间[O，2]上恰有两个相异实根．
令，
则
当时，当
在上是减函数，在上是增函数．
又只要
如图，即，可以使方程在区间上恰有两个相异实根，
故的取值范围是
五、利用导数证明不等式
例6．已知直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为．
（1）求直线的方程及的值；
（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；
（3）当时，求证：．
解：(1)依题意知，直线是函数在点处的切线，故其斜率
所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由
得
不合题意，舍去）
(2)因为，
所以
当时当时
因此在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时取得最大值
(3)当时.由(2)知：当O时即
因此，有.
例7．(1)已知，试求函数的最小值；
（2）若，求证：.
解：（1）对于函数，
求导得，由得，
当时，，函数是递减函数；
当时，，函数是递增函数；
所以当时，函数.
（2）由第（1）题得：
从而，，，
三式相加得：
变题：
由（1）知：，从而，，
，三式相加，结合得：
.
联想：
在三角函数中，有公式，因此，若，且，则.
类比：
若，则