高三数学第一轮复习教案(平面向量4).doc

4.3 平面向量的数量积
教学内容：平面向量的数量积（2课时）
教学目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算，能运
用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．
教学重点：平面向量数量积的运算及其应用（解决有关长度、角度和垂直的问题）．
教学难点：平面向量数量积的几何意义．
教学用具：三角板
教学设计：
一、知识要点
1.平面向量的数量积的定义
（1）向量的夹角：已知两个非零向量，，过点作，，则
叫做向量，的夹角. 当且仅当两个非零向量，同向时，；当
且仅当两个非零向量，反向时，；当且仅当两个非零向量，的夹角
时，称与垂直，记作.
注：两个向量，平移成有公共起点时两个向量所成的角才是向量的夹角；要注意它的取值
范围是；零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.
（2）向量的数量积：两个非零向量，的夹角为，则叫做向量，的数量积（或内积），记作.
（3）向量数量积的几何意义：叫做在方向上的投影，等于的长度与在
方向上的投影的乘积.
2. 向量的运算
运算
运算法则
运算性质
数量积
是一个实数，

，

与同向时，
与反向时，
，
，
注：与实数乘法比较，虽然乘法公式仍然适用，但是结合律不成立，即；
消去律不成立，即由不能得到；此外由也不能得到或.
3. 重要定理、公式的坐标表示
二、典型例示
例1已知，，与的夹角为，求；；；
；.
注：数量积的计算是基本的技能，在展开时与多项式乘法类似（乘法公式仍然适用），但与乘法的法则比较，数量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦..
例2（1）设，满足，与的夹角为，求和；
（2）已知两个单位向量与的夹角为，若，，求与夹
角的余弦；
（4）已知，，，求向量在向量方向上的投影.
注：本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题（数量积的计算及有关长度、角
度），体现了向量的工具性，要切实把握好解决这些问题的基本方法；其中角度的计算是以数
量积和向量长度的计算为基础的.
例3（1）已知平面上三个向量，，的模均为，它们相互之间的夹角都是，
求证：；
（2）设，满足，，，若向量与互相垂直，求
实数的值（是否存在实数，使得向量与互相垂直？说明理由）.
（3）若,是两个非零向量，且与垂直，与垂直，试求
与的夹角.
注：向量垂直的充要条件的应用是重要而且关键的知识点，需要通过举一反三的方式训
练落实，这里根据向量满足的不同条件列出方程（组）求解是确定参数值的基本方法.
例4 已知，，与的夹角为，求当向量与的夹角是
钝角时，实数的取值范围.
解：由已知得，因为向量与的夹角是钝角，所以
①， 且与不反向共线 ②，
由①得，即，
解得；
由②得，有且，解得，则有，
综上所述，当向量与的夹角是钝角时，实数的取值范围是
且．
注：根据向量满足的不同条件列出不等式（组）求解是确定参数值取值的基本方法；不可
忽略向量的特殊位置关系的探讨.
三、课堂练习
1. 已知，，与的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则向量与的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 夹角为 C. 垂直 D. 不平行也不垂直
3. 设，满足，且，若与互相垂直，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 若,是两个非零向量，且，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
四、课堂小结
向量的数量积所涉及到的基本问题包括：数量积的计算、有关长度和角度的计算、垂直问题的探讨，体现了向量的工具性.
五、课外作业
1．设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则 ① 不与垂直；
②；③；④
中，是真命题的有 （　　）
A． ① ② B． ② ③ C．③ ④ D． ② ④
2．已知下列各式：（1）；（2）；（3）；
（4），其中正确的有 （ ）
A．　1个 B．2个 　C． 3个 　 D． 4个
3. 已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么 =（ ）.
A． B． C． D．4
4．已知，，，则等于 （ ）
A． 23 B． 35 C． D．
5. 若向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 12
6．已知，，，则与的夹角是 （　 ）
A． 　 B． 　 C． 　 D．
7. 若，，，且，则向量与的夹角为 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．已知向量≠，||＝，对任意，恒有|－t|≥|－|，则 （ ）
A．⊥ B． ⊥(－) C．⊥(－) D． (＋)⊥(－)
9．已知，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10. 已知正方形的边长为，，，，则的模等于（ ）
A．0 B．3 C． D． 2
11. 中，，，， 则 .
12．等腰中，，则 .
13．设为内一点，，则是的_______心。
14．已知，，与的夹角为，求和．
15．已知，，，求向量与的夹角.
16. 已知，，与的夹角为，求与的夹角.
17. 已知，，，求证：.
18. 设，满足，与的夹角为，若，求实数的值.
19. 已知，，与的夹角为，，求实数的值.
已知不共线的，，三向量两两所成的角相等，并且，，，试
求向量的长度以及与已知三向量的夹角。
19．设与是两个互相垂直的单位向量，问当为何整数时，向量与的
夹角能否等于，证明你的结论。